ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 635 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Одна из сторон треугольника равна \(a\), прилежащие к ней углы равны \(45°\) и \(60°\). Найдите высоту треугольника, проведенную к данной стороне.

Решение:
1) В прямоугольном ΔАВН: tg ∠А = 1, tg ∠А = BH/AH, BH = AH · tg ∠А = AH;
2) В прямоугольном ΔСВН: CH = AC — AH = a — BH, tg ∠C = √3, tg ∠C = BH/CH, BH = CH · tg ∠C;
BH = (a — BH) · √3, BH = a√3 — BH√3, BH(1 + √3) = a√3, BH · (3 — 1) = a√3 · (√3 — 1);
Ответ: \(a(3-\sqrt{3})/2\).

Решение:
Дано: ВН — высота, АС = a, ∠BAC = 45°, ∠BCA = 60°.
Найти: BH.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВН. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен противолежащему катету, деленному на прилежащий катет. Таким образом, tg ∠А = BH/AH = 1, откуда BH = AH.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔСВН. Известно, что ∠С = 60°, следовательно, tg ∠С = √3. Тангенс угла равен противолежащему катету, деленному на прилежащий катет, то есть tg ∠С = BH/CH. Отсюда BH = CH · tg ∠С.

3) Найдем CH. Так как АС = a и АН = BH, то CH = AC — AH = a — BH.

4) Подставляя CH в выражение для BH, получаем:
BH = (a — BH) · tg ∠С
BH = (a — BH) · √3

5) Решая это уравнение относительно BH, получаем:
BH(1 + √3) = a√3
BH = a√3 / (1 + √3)
BH = a(√3 — 1) / 2

Ответ: \(a(3-\sqrt{3})/2\).