ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 636 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основания трапеции равны 7 см и 15 см, а углы при большем основании — \(30°\) и \(60°\). Найдите высоту и диагонали трапеции.

Решение:
В прямоугольнике BCFE: \(CF = BE, EF = BC = 7\)
В прямоугольном ΔABE: \(\tan \angle A = \frac{\sqrt{3}}{3}, \tan \angle A = \frac{BE}{AE}\), \(AE = BE\sqrt{3}\)
В прямоугольном ΔDCF: \(\tan \angle D = \sqrt{3}, \tan \angle D = \frac{CF}{DF}\), \(DF = \frac{CF}{\tan \angle D} = \frac{7}{\sqrt{3}}\)
В трапеции ABCD: \(AD = AE + EF + DF, BE\sqrt{3} + 7 + \frac{7}{\sqrt{3}} = 15\), \(\frac{4BE}{\sqrt{3}} = 8, BE = 2\sqrt{3}\)
В прямоугольном ΔACF: \(AE = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 6, AF = AE + EF = 13, AC^2 = AF^2 + CF^2, AC^2 = \)
\(=13^2 + (2\sqrt{3})^2, AC^2 = 181, AC = \sqrt{181}\)
В прямоугольном ΔDBE: \(DF = 2\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = 2, DE = DF + EF = 9, BD^2 = BE^2 + DE^2, BD^2 = \)
\(=(2\sqrt{3})^2 + 9^2, BD^2 = 93, BD = \sqrt{93}\)
Ответ: \(2\sqrt{3}\) см, \(\sqrt{181}\) см, \(\sqrt{93}\) см.

Решение:

Дано:
— Трапеция ABCD
— Высота BE = CF
— Основания BC = 7 см, AD = 15 см
— Угол LAD = 30°
— Угол LDC = 60°

Найти: BE, AC, BD

1) Рассмотрим прямоугольник BCFE.
Так как CF = BE и EF = BC = 7 см, то можно записать:
\(CF = BE\)
\(EF = BC = 7\)

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.
Так как угол LAB = 30°, то можно найти отношение сторон:
\(\tan \angle LAB = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\tan \angle LAB = \frac{BE}{AE}\)
Отсюда \(AE = BE\sqrt{3}\)

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник DCF.
Так как угол LDC = 60°, то можно найти отношение сторон:
\(\tan \angle LDC = \sqrt{3}\)
\(\tan \angle LDC = \frac{CF}{DF}\)
Отсюда \(DF = \frac{CF}{\tan \angle LDC} = \frac{7}{\sqrt{3}}\)

4) Рассмотрим трапецию ABCD.
Из предыдущих шагов мы знаем, что:
\(AE = BE\sqrt{3}\)
\(DF = \frac{7}{\sqrt{3}}\)
Тогда длина AD равна сумме длин AE, EF и DF:
\(AD = AE + EF + DF = BE\sqrt{3} + 7 + \frac{7}{\sqrt{3}} = 15\)
Отсюда \(BE = 2\sqrt{3}\)

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACF.
Из предыдущих шагов мы знаем, что:
\(AE = 2\sqrt{3}\)
\(AF = AE + EF = 13\)
Тогда можно найти длину AC:
\(AC^2 = AF^2 + CF^2 = 13^2 + (2\sqrt{3})^2 = 181\)
Отсюда \(AC = \sqrt{181}\)

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник DBE.
Из предыдущих шагов мы знаем, что:
\(DF = 2\)
\(DE = DF + EF = 9\)
Тогда можно найти длину BD:
\(BD^2 = BE^2 + DE^2 = (2\sqrt{3})^2 + 9^2 = 93\)
Отсюда \(BD = \sqrt{93}\)

Ответ: BE = \(2\sqrt{3}\) см, AC = \(\sqrt{181}\) см, BD = \(\sqrt{93}\) см.