ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 638 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, \(\angle BAC = 52°\), \(\angle DBC = 34°\), \(\angle ADB = 17°\). Найдите углы четырехугольника.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(\angle BDC = 2\angle BAC = 52°\), \(\angle DAC = 2\angle DBC = 34°\), \(\angle BCA = \angle ADB = 17°\), \(\angle ACD = \angle ABD = x\)
2) В четырехугольнике ABCD: \(\angle A = 86°\), \(\angle B = x + 34°\), \(\angle C = 17° + x\), \(\angle D = 69°\), \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°\)
\(86° + x + 34° + 17° + x + 69° = 360°\), \(2x + 206° = 360°\), \(2x = 154°\), \(x = 77°\)
\(\angle B = 77° + 34° = 111°\), \(\angle C = 17° + 77° = 94°\)
Ответ: \(86°\), \(111°\), \(94°\), \(69°\)

Дано: четырехугольник ABCD вписан в окружность, \(\angle BAC = 52°\), \(\angle DBC = 34°\), \(\angle ADB = 17°\).

Решение:
1) Рассмотрим окружность, в которую вписан четырехугольник ABCD. Так как углы вписанного четырехугольника образуют пару накрест лежащих углов, то \(\angle BDC = 2\angle BAC = 52°\) и \(\angle DAC = 2\angle DBC = 34°\).
2) Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна \(360°\), то \(\angle BCA = \angle ADB = 17°\).
3) Обозначим \(\angle ACD = \angle ABD = x\). Тогда:
\(\angle A = \angle BAC + \angle DAC = 86°\)
\(\angle B = \angle ABD + \angle DBC = x + 34°\)
\(\angle C = 2\angle BCA + \angle ACD = 17° + x\)
\(\angle D = \angle ADB + 2\angle BDC = 69°\)
4) Составим уравнение для нахождения \(x\):
\(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°\)
\(86° + (x + 34°) + (17° + x) + 69° = 360°\)
\(2x + 206° = 360°\)
\(2x = 154°\)
\(x = 77°\)
5) Найдем значения остальных углов:
\(\angle B = 77° + 34° = 111°\)
\(\angle C = 17° + 77° = 94°\)

Ответ: \(86°\), \(111°\), \(94°\), \(69°\).