ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 639 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) (\(BC\parallel AD\)). Найдите отрезки \(BO\) и \(OD\), если \(AO : OC = 7 : 6\) и \(BD = 39 \text{ см}\).

Решение:

1) В трапеции ABCD: AD || BC.
2) Для AD и BC и секущей BD: \(\angle CBD = \angle ADB\).
3) Рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\): \(\angle CBO = \angle ADO\), \(\angle AOD = \angle COB\) — вертикальные; \(\triangle AOD \sim \triangle COB\) — первый признак; \(\frac{AO}{DO} = \frac{7}{6}\), \(DO = \frac{7}{6} \cdot BO\).
BD = BO + DO, \(BO + \frac{7}{6} \cdot BO = 39\), \(BO = 18\), \(DO = 21\).
Ответ: 18 см, 21 см.

Решение:
Дано: трапеция ABCD, AD || BC, AO : OC = 7 : 6, BD = 39 см. Необходимо найти BO и OD.

1) Так как AD || BC, то \(\angle ABC = \angle ADC\) и \(\angle BAD = \angle BCD\). Это следует из свойств параллельных прямых, пересекаемых секущей.

2) Рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle COB\). Так как \(\angle AOD = \angle COB\) (вертикальные углы), \(\angle AOD = \angle COB\) (первый признак подобия треугольников), то \(\triangle AOD \sim \triangle COB\). Следовательно, \(\frac{AO}{DO} = \frac{CO}{BO}\).

3) Из условия \(\frac{AO}{OC} = \frac{7}{6}\) получаем \(\frac{AO}{DO} = \frac{7}{6}\), откуда \(DO = \frac{6}{7}AO\).

4) Так как BD = BO + DO, то \(BD = BO + \frac{6}{7}AO\). Подставляя известные значения, получаем: \(39 = BO + \frac{6}{7} \cdot 7 \cdot \frac{6}{6}\), откуда \(BO = 18\).

5) Зная BO, находим OD: \(OD = \frac{6}{7}AO = \frac{6}{7} \cdot 7 \cdot \frac{6}{6} = 21\).

Ответ: BO = 18 см, OD = 21 см.