ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 65 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении \(3 : 5\), считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(66\) см.

1) Для прямых AD и ВС и секущей АМ: \(\angle BAM = \angle MAD = \angle BAM\)
2) Рассмотрим треугольник АВМ: \(\angle BAM = \angle BMA\), \(\triangle ABM\) — равнобедренный, \(BM = AB\)
3) В параллелограмме ABCD: \(BC = \frac{3}{5}MC + \frac{8}{5}MC = \frac{11}{5}MC\), \(AB = \frac{3}{5}MC\), \(CD = AB\), \(AD = BC\)
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = \frac{3}{5}MC + \frac{11}{5}MC + \frac{3}{5}MC + \frac{3}{5}MC =\)
\(= \frac{20}{5}MC = 66\)
\(MC = \frac{22}{5} = 15\), \(AB = \frac{3}{5}\cdot 15 = 9\), \(BC = \frac{8}{5}\cdot 15 = 24\)
Ответ: 9 см, 24 см.

Дано:
— Параллелограмм ABCD
— \(AM\) — биссектриса \(\angle A\)
— \(BM : MC = 3 : 5\)
— \(P_{ABCD} = 66 \text{ см}\)

Шаг 1. Найдем углы треугольника \(\triangle ABM\).
Так как \(AM\) является биссектрисой \(\angle A\), то \(\angle BAM = \angle MAD\). Также, поскольку ABCD — параллелограмм, то \(\angle BAM = \angle ABM\). Таким образом, \(\angle BAM = \angle MAD = \angle ABM\).

Шаг 2. Найдем длину \(BM\).
Из условия \(BM : MC = 3 : 5\) получаем \(BM = \frac{3}{8}MC\).

Шаг 3. Найдем длину \(AB\).
Так как \(\triangle ABM\) — равнобедренный, то \(BM = AB\). Следовательно, \(AB = \frac{3}{8}MC\).

Шаг 4. Найдем длину \(BC\).
Из свойств параллелограмма, \(BC = AB + MC\). Подставляя найденные значения, получаем:
\(BC = \frac{3}{8}MC + MC = \frac{11}{8}MC\)

Шаг 5. Найдем периметр параллелограмма \(P_{ABCD}\).
Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон:
\(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\)
Подставляя найденные значения:
\(P_{ABCD} = \frac{3}{8}MC + \frac{11}{8}MC + \frac{3}{8}MC + \frac{3}{8}MC = \frac{20}{8}MC = 66\)
Отсюда \(MC = \frac{22}{5} = 15\)

Шаг 6. Найдем длины сторон параллелограмма.
\(AB = \frac{3}{8}MC = \frac{3}{8}\cdot 15 = 9\)
\(BC = \frac{11}{8}MC = \frac{11}{8}\cdot 15 = 24\)
\(CD = AB = 9\)
\(AD = BC = 24\)

Ответ: \(AB = 9 \text{ см}, BC = 24 \text{ см}\).