ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 655 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Дан выпуклый многоугольник с d = 54.
1) Количество сторон: \(n = \frac{n(n-3)}{2} + 3 = 12\).
2) Сумма его углов: \(S = 180°(n — 2) = 1800°\).
Ответ: 12; 1800°.

Дан выпуклый многоугольник с d = 54. Для решения этой задачи необходимо:

1) Найти количество сторон многоугольника.
Известно, что для выпуклого многоугольника с n сторонами выполняется формула: \(d = \frac{n(n-3)}{2}\), где d — длина стороны многоугольника.
Подставляя известное значение d = 54, получаем:
\(54 = \frac{n(n-3)}{2}\)
\(2\cdot 54 = n^2 — 3n\)
\(n^2 — 3n — 108 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, находим:
\(n = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4\cdot 1\cdot (-108)}}{2\cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 — 432}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-423}}{2}\)
Так как n — целое число, то действительным решением является \(n = 12\).

2) Найти сумму углов многоугольника.
Для выпуклого многоугольника с n сторонами сумма углов равна \(S = 180°(n-2)\).
Подставляя найденное значение n = 12, получаем:
\(S = 180°(12-2) = 1800°\).

Ответ: 12; 1800°.