ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 656 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны.

Решение:
1) Рассмотрим окружность: \(OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_n = R\);
2) Для \(\Delta OA_1A_n\), \(\Delta OA_1A_2\), \(\Delta OA_2A_3\): \(OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_n\); \(A_nA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\);
3) Равны по третьему признаку: \(\Delta OA_1A_n = \Delta OA_1A_2 = \Delta A_2A_3\); \(\angle OA_1A_n = \angle OA_1A_2 = \angle A_2A_1 = \angle A_2A_3\);
4) В многоугольнике \(A_1A_2A_3…A_n\): \(\angle A_1 = \angle OA_1A_n + \angle OA_1A_2\); \(\angle A_2 = \angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3\), \(\angle A_1 = \angle A_2\);
5) Аналогично для остальных углов: \(\angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = … = \angle A_n\).

Решение:
Дано: окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\), вписанный в нее многоугольник \(A_1A_2A_3…A_n\), где \(A_1A_2 = A_2A_3 = … = A_1A_n\).
Доказать: \(\angle A_1 = \angle A_2 = … = \angle A_n\).

1) Рассмотрим окружность: \(OA_1 = OA_2 = OA_3 = … = OA_n = R\).
2) Для треугольников \(\Delta OA_1A_n\), \(\Delta OA_1A_2\), \(\Delta OA_2A_3\):
— \(OA_1 = OA_2 = OA_3 = … = OA_n\)
— \(A_nA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = … = A_nA_1\)
3) Треугольники \(\Delta OA_1A_n\), \(\Delta OA_1A_2\), \(\Delta OA_2A_3\) равны по третьему признаку равенства треугольников:
— \(\Delta OA_1A_n = \Delta OA_1A_2 = \Delta OA_2A_3\)
— \(\angle OA_1A_n = \angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3\)
4) В многоугольнике \(A_1A_2A_3…A_n\):
— \(\angle A_1 = \angle OA_1A_n + \angle OA_1A_2\)
— \(\angle A_2 = \angle OA_2A_1 + \angle OA_2A_3\)
— \(\angle A_1 = \angle A_2\)
5) Аналогично для остальных углов многоугольника:
— \(\angle A_1 = \angle A_2 = \angle A_3 = … = \angle A_n\)

Таким образом, доказано, что все углы вписанного в окружность многоугольника \(A_1A_2A_3…A_n\) равны между собой.