ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 657 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(OE_1 = OE_2 = OE_3 = OE_n = R\); \(OA_1, OA_2, OA_3, OA_n\) — биссектрисы; \(\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3 = \angle OA_3A_2\)
2) Треугольник \(\Delta OA_1A_2\) равнобедренный: \(OE_2\) — высота и медиана; \(A_1A_2 = 2A_2E_2\)
3) Треугольник \(\Delta OA_2A_3\) равнобедренный: \(OE_3\) — высота и медиана; \(A_2A_3 = 2A_2E_3 = 2A_2E_2 — A_1A_2\)
4) Аналогично для остальных сторон: \(A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = \dots = A_1A_n\)

Дано: центр вписанной окружности обозначен как O, углы вписанной n-угольной фигуры обозначены как \(\angle A_1, \angle A_2, \dots, \angle A_n\), при этом \(\angle A_1 = \angle A_2 = \dots = \angle A_n\).

Доказательство:
1) Рассмотрим окружность, вписанную в n-угольную фигуру. Радиус этой окружности обозначим как R, тогда \(OE_1 = OE_2 = OE_3 = \dots = OE_n = R\), где \(E_1, E_2, E_3, \dots, E_n\) — точки касания окружности с сторонами n-угольника.

2) Биссектрисы \(OA_1, OA_2, OA_3, \dots, OA_n\) делят n-угольник на равные части, так как \(\angle A_1 = \angle A_2 = \dots = \angle A_n\). Следовательно, \(\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3 = \angle OA_3A_2 = \dots = \angle OA_nA_1\).

3) Рассмотрим треугольник \(\Delta OA_1A_2\). Он является равнобедренным, так как \(\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1\). Высота \(OE_2\) этого треугольника является также его медианой, так как \(OE_2 \perp A_1A_2\). Следовательно, \(A_1A_2 = 2A_2E_2\).

4) Аналогично, треугольник \(\Delta OA_2A_3\) является равнобедренным, высота \(OE_3\) является также его медианой, и \(A_2A_3 = 2A_2E_3 = 2A_2E_2 — A_1A_2\).

5) Продолжая этот процесс для всех остальных сторон n-угольника, мы получим, что \(A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_nA_1\).

Таким образом, доказано, что все стороны n-угольника, вписанного в окружность, равны между собой.