ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 66 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(CD\) в точке \(K\) так, что отрезок \(CK\) в \(5\) раз больше отрезка \(KD\). Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен \(88\) см.

1) Для прямых АВ и CD и секущей ВК: \(\angle CKB = \angle ABK = \angle CBK\)
2) Рассмотрим треугольник СВК: \(\angle CKB = 2\angle CBK\), \(BC = CK\)
3) В параллелограмме ABCD: \(CD = CK + KD = 5KD + KD = 6KD\), \(BC = CK = 5KD\), \(CD = AB\), \(AD = BC\), \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\), \(6KD + 5KD + 6KD + 5KD = 88\), \(22KD = 88\), \(KD = 4\), \(AB = 6 \cdot 4 = 24\), \(BC = 5 \cdot 4 = 20\)
Ответ: 20 см; 24 см.

Решение:
Дано:
— Параллелограмм ABCD
— Отрезок ВК является секущей для прямых АВ и CD
— \(\angle BKC = 5\) единиц
— Периметр параллелограмма ABCD равен 88 см

Шаг 1: Найдем углы треугольника CBK.
Поскольку ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, \(\angle CKB = \angle ABK\).
Также, так как ВК является секущей для прямых АВ и CD, то \(\angle CKB = \angle CBK\) (свойство секущей).
Таким образом, \(\angle CKB = \angle ABK = \angle CBK\).

Шаг 2: Найдем длину отрезка ВС.
Рассмотрим треугольник CBK. Так как \(\angle CKB = 2\angle CBK\), то треугольник CBK является равнобедренным, и, следовательно, \(BC = CK\).

Шаг 3: Найдем длину отрезка CD.
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке K и делятся пополам. Следовательно, \(CD = CK + KD = 5KD + KD = 6KD\).

Шаг 4: Найдем длину отрезка BC.
Из шага 2 мы знаем, что \(BC = CK\). Также мы знаем, что \(CK = 5KD\) (из шага 3). Поэтому \(BC = 5KD\).

Шаг 5: Найдем длину отрезка AB.
Так как ABCD — параллелограмм, то \(CD = AB\) и \(AD = BC\).

Шаг 6: Найдем периметр параллелограмма ABCD.
Периметр параллелограмма ABCD равен сумме длин его сторон: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\).
Подставляя найденные значения, получаем: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 6KD + 5KD + 6KD + 5KD = 22KD\).
Из условия, \(P_{ABCD} = 88\) см, поэтому \(22KD = 88\), откуда \(KD = 4\).

Шаг 7: Найдем длину отрезка AB.
Из шага 5 мы знаем, что \(AB = CD\). Из шага 3 мы знаем, что \(CD = 6KD\). Подставляя \(KD = 4\), получаем \(AB = CD = 6 \cdot 4 = 24\) см.

Шаг 8: Найдем длину отрезка BC.
Из шага 4 мы знаем, что \(BC = 5KD\). Подставляя \(KD = 4\), получаем \(BC = 5 \cdot 4 = 20\) см.

Ответ: 20 см; 24 см.