ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 660 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.

Решение:
1) В шестиугольнике ABCDEF: S = 180°(n-2) = 180°·4 = 720°; S = \(LA + 2B + LC + 2D + LE + LF\); \(6LA = 720°\), \(LA = 120°\);
2) Построим отрезок MN: M ∈ DE, N ∈ AB;
3) В пятиугольнике BCDMN: S = 180°(n-2) = 180°·3 = 540°; S = \(2B + 2C + 2D + 2M + LN\); \(3·120° + 2DMN + 2BMN = 540°\); \(2DMN + 2BNM = 180°\);
4) Для AB и DE и секущей MN: \(2DMN + 2BNM = 180°\), AB || DE;
5) Аналогично доказывается: BC ⊥ EF, CD ⊥ AF.

Решение:

Дано: В шестиугольнике ABCDEF, \(LA = 2B = LC = 2D = LE = LF\).

Необходимо доказать: \(AB || DE\), \(BC \perp EF\), \(CD \perp AF\).

1) Рассмотрим шестиугольник ABCDEF:
Площадь шестиугольника \(S = 180°(n-2) = 180°\cdot 4 = 720°\).
Площадь шестиугольника также можно вычислить как сумму его сторон: \(S = LA + 2B + LC + 2D + LE + LF\).
Подставляя данные, получаем: \(6LA = 720°\), откуда \(LA = 120°\).

2) Построим отрезок MN, где \(M \in DE\) и \(N \in AB\).

3) Рассмотрим пятиугольник BCDMN:
Площадь пятиугольника \(S = 180°(n-2) = 180°\cdot 3 = 540°\).
Площадь пятиугольника также можно вычислить как сумму его сторон: \(S = 2B + 2C + 2D + 2M + LN\).
Подставляя данные, получаем: \(3\cdot 120° + 2DMN + 2BMN = 540°\), откуда \(2DMN + 2BNM = 180°\).

4) Для отрезков AB, DE и секущей MN:
\(2DMN + 2BNM = 180°\), следовательно, \(AB || DE\).

5) Аналогично доказывается, что \(BC \perp EF\) и \(CD \perp AF\).

Таким образом, доказано, что \(AB || DE\), \(BC \perp EF\), \(CD \perp AF\).