ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 661 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника равны, то он не имеет параллельных сторон.

Краткий ответ:

Дано:
\(LA = 2B = 2C = = 2D = LE\)

Решение:
1) В пятиугольнике ABCDE:
\(S = 180°(n-2) = 180° \cdot 3 = 540°\); \(S= LA+ 2B+ C +2D+LE\); \(5ZA = 540°, ZA = 108°\)
2) Построим отрезки МК и NK: \(M \in CD, N \in DE, K \in AB\)
3) В четырехугольнике BCMK:
\(ZB + ZC + ZM + ZK = 360°\); \(108° + 108° + ZM + ZK = 360°\); \(ZCMK + ZBKM = 144°\)
4) В четырехугольнике AKNE:
\(ZA + ZK + ZN + ZE = 360°\); \(108° + ZK + ZN + 108° = 360°\); \(LAKN + LENK = 144°\)
5) Для CD и AB и секущей MK: \(ZCMK + ZBKM \neq 180°, CD \not\perp AB\)
6) Для DE и AB и секущей NK: \(LAKN + LENK \neq 180°, DE \not\perp AB\)
7) Аналогично доказывается: \(BC \not\perp DE \not\perp AE, CD \not\perp AB \not\perp AE\)

Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Дано: \(LA = 2B = 2C = = 2D = LE\)

Доказать: \(AB \not\perp DE \not\perp CD; BC \not\perp DE \not\perp AE; CD \not\perp AB \not\perp AE\)

Решение:
Рассмотрим пятиугольник ABCDE. Согласно теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма его внутренних углов равна \(180°(n-2)\), где \(n\) — число сторон многоугольника. Для пятиугольника \(n=5\), поэтому \(S = 180°(5-2) = 180° \cdot 3 = 540°\).

Теперь найдем сумму углов пятиугольника другим способом, используя данные условия задачи:
\(S = LA + 2B + C + 2D + LE\)
Подставляя \(LA = 2B = 2C = 2D = LE\), получаем:
\(S = 2B + 2B + 2B + 2B + 2B = 10B = 540°\)
Откуда \(5ZA = 540°\), то есть \(ZA = 108°\).

Теперь построим отрезки \(MK\) и \(NK\), где \(M \in CD\), \(N \in DE\), \(K \in AB\).

Рассмотрим четырехугольник \(BCMK\):
\(ZB + ZC + ZM + ZK = 360°\)
Подставляя \(ZB = 108°\), \(ZC = 108°\), получаем:
\(108° + 108° + ZM + ZK = 360°\)
Откуда \(ZCMK + ZBKM = 144°\).

Аналогично рассмотрим четырехугольник \(AKNE\):
\(ZA + ZK + ZN + ZE = 360°\)
Подставляя \(ZA = 108°\), получаем:
\(108° + ZK + ZN + 108° = 360°\)
Откуда \(LAKN + LENK = 144°\).

Далее, для отрезков \(CD\) и \(AB\) с секущей \(MK\) имеем:
\(ZCMK + ZBKM \neq 180°\), значит \(CD \not\perp AB\).

Аналогично, для отрезков \(DE\) и \(AB\) с секущей \(NK\) имеем:
\(LAKN + LENK \neq 180°\), значит \(DE \not\perp AB\).

Таким же образом можно показать, что \(BC \not\perp DE \not\perp AE\) и \(CD \not\perp AB \not\perp AE\).

Что и требовалось доказать.

Оцени решение