ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 663 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе, равны соответственно \(13 \text{ см}\) и \(12 \text{ см}\). Найдите периметр данного треугольника.

Решение:
1) В прямоугольном ΔНМС: \(CM^2 = CH^2 + HM^2\), \(13^2 = 12^2 + HM^2\), \(169 = 144 + HM^2\), \(HM^2 = 25\), \(HM = 5\);
2) В прямоугольном ΔАВС: \(CM\) — медиана;
3) В прямоугольном ΔАНС: \(AH = AM — MH = 8\), \(AC^2 = AH^2 + CH^2\), \(AC^2 = 8^2 + 12^2\), \(AC^2 = 64 + 144\), \(AC^2 = 208\), \(AC = 4\sqrt{13}\);
4) В прямоугольном ΔАВС: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), \(26^2 = (4\sqrt{13})^2 + BC^2\), \(676 = 208 + BC^2\), \(BC^2 = 468\), \(BC = 6\sqrt{13}\), \(P_{ABC} = AB + BC + AC\), \(P_{ABC} = 26 + 10\sqrt{13}\).

Ответ: 26 + 10\13 см.

Хорошо, вот подробное пошаговое решение:

Дано:
— \(CH\) — высота;
— \(CM\) — медиана;
— \(\angle ACB = 90^\circ\);
— \(CH = 12\) см;
— \(CM = 13\) см.

Найти: \(P_{ABC}\)

Решение:
1) Сначала найдем длину \(HM\) в прямоугольном треугольнике \(\Delta HMC\).
Используя теорему Пифагора, получаем:
\(CM^2 = CH^2 + HM^2\)
\(13^2 = 12^2 + HM^2\)
\(169 = 144 + HM^2\)
\(HM^2 = 25\)
\(HM = 5\)

2) Так как \(CM\) является медианой в \(\Delta ABC\), то \(AM = BM = 13\) см.
Также \(AB = AM + BM = 26\) см.

3) Теперь найдем длину \(AC\) в прямоугольном треугольнике \(\Delta AHC\).
Используя теорему Пифагора:
\(AH = AM — MH = 8\) см
\(AC^2 = AH^2 + CH^2\)
\(AC^2 = 8^2 + 12^2\)
\(AC^2 = 64 + 144\)
\(AC^2 = 208\)
\(AC = 4\sqrt{13}\) см

4) Наконец, найдем периметр \(\Delta ABC\):
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(26^2 = (4\sqrt{13})^2 + BC^2\)
\(676 = 208 + BC^2\)
\(BC^2 = 468\)
\(BC = 6\sqrt{13}\) см
\(P_{ABC} = AB + BC + AC\)
\(P_{ABC} = 26 + 6\sqrt{13} + 4\sqrt{13}\)
\(P_{ABC} = 26 + 10\sqrt{13}\) см

Ответ: \(26 + 10\sqrt{13}\) см.