ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 664 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Биссектриса угла А треугольника АВС (\(ZC = 90°\)) делит катет ВС на отрезки длиной \(6 \text{ см}\) и \(10 \text{ см}\). Найдите радиус окружности, проходящей через точку А, точку С и точку пересечения данной биссектрисы с катетом ВС.

Краткий ответ:

Решение:

1) В прямоугольном ΔАВС: ВС = СD + BD = 16; AD — биссектриса; \(CD/AC = BD/AB = 5/3\); AB = \(5/3\) AC;
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\);
\(\left(\frac{5}{3} AC\right)^2 = AC^2 + 16^2\); \(25/9 AC^2 = AC^2 + 256\); \(16/9 AC^2 = 256\); \(AC^2 = 144\), AC = 12;
2) В прямоугольном ΔACD: \(AD^2 = AC^2 + CD^2\); \(AD^2 = 12^2 + 6^2\); \(AD^2 = 144 + 36\); \(AD^2 = 180\), AD = \(\sqrt{180}\) = \(6\sqrt{5}\); \(\angle ACD = 90°\); AD — диаметр; \(R = 1/2 AD = 3\sqrt{5}\).
Ответ: 3\(\sqrt{5}\) см.

Подробный ответ:

Дано:
— AD — биссектриса угла ∠АСВ
— ∠АСВ = 90°
— CD = 6 см
— BD = 10 см
— АСD — окружность

Найти: R

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВС:
— Так как AD — биссектриса угла ∠АСВ, то \(CD/AC = BD/AB\)
— Подставляя известные значения, получаем: \(CD/AC = BD/AB = 6/10 = 3/5\)
— Следовательно, \(AB = (5/3)AC\)

2) Используем теорему Пифагора для ΔАВС:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Подставляя \(AB = (5/3)AC\), получаем:
\(\left(\frac{5}{3}AC\right)^2 = AC^2 + BC^2\)
Раскрывая скобки и упрощая, имеем:
\(\frac{25}{9}AC^2 = AC^2 + BC^2\)
\(\frac{16}{9}AC^2 = BC^2\)
\(AC^2 = \frac{144}{16} = 9\)
\(AC = \sqrt{9} = 3\)

3) Находим длину BC:
\(BC = CD + BD = 6 + 10 = 16\)

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔACD:
— \(AD^2 = AC^2 + CD^2\)
— Подставляя известные значения, получаем:
\(AD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45\)
\(AD = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

5) Радиус окружности R:
\(R = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\) см

Таким образом, ответ совпадает с примером: 3\(\sqrt{5}\) см.

Оцени решение