ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 665 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На окружности радиуса \(1\) отметили \(1000\) точек. Докажите, что найдется точка, принадлежащая данной окружности, сумма расстояний от которой до отмеченных точек больше \(1000\).

На окружности, радиус которой равен 1, отметили 1000 точек:

1) Обозначим данные точки как A1, A2, A3, …, A1000 и построим диаметр CD данной окружности, концы которого не принадлежат ни одной из этих точек;

2) Согласно неравенству треугольника:
\(CA_i + BA_i > CB, CB=2R=2\);
\((BA_1 + … + BA_{1000}) + (CA_1 + … + CA_{1000}) > 1000CB= 2000\);
\((BA_1 + …. + BA_{1000}) > 1000\) или \((CA_1 + … + CA_{1000}) > 1000\);

Что и требовалось доказать.

На окружности радиуса \(R=1\) отмечено \(1000\) точек, которые обозначены как \(A_1, A_2, A_3, …, A_{1000}\). Построен диаметр \(CD\) этой окружности, концы которого не принадлежат ни одной из этих точек.

Согласно неравенству треугольника, для любой точки \(A_i\) на окружности выполняется:
\(CA_i + BA_i > CB\)
где \(CB = 2R = 2\)

Сложив неравенства для всех \(1000\) точек, получим:
\((CA_1 + BA_1) + (CA_2 + BA_2) + … + (CA_{1000} + BA_{1000}) > 1000 \cdot CB = 2000\)

Раскрывая скобки, имеем:
\((CA_1 + … + CA_{1000}) + (BA_1 + … + BA_{1000}) > 2000\)

Так как \(BA_1 + … + BA_{1000} \geq 1000\) (сумма длин хорд не может быть меньше длины окружности), то из последнего неравенства следует:
\((CA_1 + … + CA_{1000}) > 1000\)

Или, аналогично:
\((BA_1 + … + BA_{1000}) > 1000\)

Таким образом, доказано, что сумма расстояний от центра окружности до точек \(A_1, A_2, …, A_{1000}\) либо сумма длин хорд \(BA_1, BA_2, …, BA_{1000}\) превышает \(1000\).