ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 67 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AD = 12\) см, \(AB = 3\) см, биссектрисы углов \(B\) и \(C\) пересекают сторону \(AD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите отрезок \(EF\).

Краткий ответ:

1) Для прямых AD и BC и секущей BE: \(\angle AEB = \angle EBC = \angle ABE\)
2) В треугольнике ABE: \(\angle AEB = \angle ABE\), треугольник ABE равнобедренный, AE = AB
3) Для прямых AD и BC и секущей CF: \(\angle DFC = \angle FCB = \angle DCF\)
4) В треугольнике DCF: \(\angle DFC = \angle DCF\), треугольник DCF равнобедренный, FD = CD
5) В параллелограмме ABCD: CD = AB = 3, AE = FD, AD = AE + DF + EF, 3 + 3 + EF = 12, EF = 6

Ответ: 6 см.

Подробный ответ:

Решение:

Дано:
— Параллелограмм ABCD
— AD = 12 см
— AB = 3 см
— BE — биссектриса угла B
— CF — биссектриса угла C

Найти: EF

1) Рассмотрим прямые AD и BC, пересекаемые секущей BE. Согласно свойству биссектрис, углы, образованные прямыми AD, BC и секущей BE, равны: \(\angle AEB = \angle EBC = \angle ABE\).

2) Рассмотрим треугольник ABE. Так как \(\angle AEB = \angle ABE\), то треугольник ABE является равнобедренным, и, следовательно, AE = AB = 3 см.

3) Рассмотрим прямые AD и BC, пересекаемые секущей CF. Согласно свойству биссектрис, углы, образованные прямыми AD, BC и секущей CF, равны: \(\angle DFC = \angle FCB = \angle DCF\).

4) Рассмотрим треугольник DCF. Так как \(\angle DFC = \angle DCF\), то треугольник DCF является равнобедренным, и, следовательно, FD = CD.

5) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Так как CD = AB = 3 см и AE = FD, то AD = AE + DF + EF. Подставляя известные значения, получаем: AD = 3 + 3 + EF = 12 см, откуда EF = 6 см.

Ответ: EF = 6 см.

Оцени решение