ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 683 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На продолжении стороны \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) за точку \(D\) отметили точку \(M\) так, что \(AD = MD\). Докажите, что параллелограмм \(ABCD\) и треугольник \(АВМ\) равновелики.

Решение: В параллелограмме ABCD: AD || BC, AD = BC; ∠AMB = ∠CBM; ∠MDC = ∠BCD; MD = AD = BC; ∠DME = ∠CBE, ∠MDE = ∠BCE; ∠MED = ∠BEC — второй признак; S_ABCD = S_ABED + S_BEC; S_ABM = S_ABED + S_MED; S_ABCD = S_ABM.

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, MD = AD.

Доказать: S_ABCD = S_ABM.

Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC и AD = BC.
2) Для треугольников АМВ и СВМ, имеющих общее основание ВМ и лежащих по одну сторону от него, углы при вершинах А и С равны, то есть ∠AMB = ∠CBM.
3) Для треугольников АМD и ВСD, имеющих общее основание CD и лежащих по одну сторону от него, углы при вершинах М и D равны, то есть ∠MDC = ∠BCD.
4) Рассмотрим треугольники AMED и ΔBEC. Так как MD = AD = BC, а ∠DME = ∠CBE и ∠MDE = ∠BCE, то по второму признаку равенства треугольников ΔMED = ΔBEC, следовательно, S_MED = S_BEC.
5) Площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников ABED и BEC: S_ABCD = S_ABED + S_BEC. Площадь треугольника ABM равна сумме площадей треугольников ABED и MED: S_ABM = S_ABED + S_MED. Так как S_MED = S_BEC, то S_ABCD = S_ABM.

Таким образом, доказано, что S_ABCD = S_ABM.