ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 684 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь квадрата \(ABCD\) равна \(10 \text{ см}^2\) (рис. 212). Чему равна площадь прямоугольника \(BMKD\)?

Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(BMKD\) — прямоугольник, \(S_{ABCD} = 10\ \text{см}^2\).

Решение:
1) В квадрате \(ABCD\): \(AC = BD\), \(AC \perp BD\), \(S_{ABCD} = AB^2\), \(AB = \sqrt{10}\), \(CL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD\).
2) В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(BD^2 = AB^2 + AD^2\), \(BD^2 = 10 + 10 = 20\), \(BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\), \(CL = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\).
3) В прямоугольнике \(BMCL\): \(BM \parallel CL\), \(BM = CL = \sqrt{5}\).
4) В прямоугольнике \(BMKD\): \(S_{BMKD} = BM \cdot BD = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 10\).

Ответ: \(10\ \text{см}^2\).

Дано: квадрат \(ABCD\) и прямоугольник \(BMKD\), площадь квадрата \(S_{ABCD} = 10\ \text{см}^2\). Требуется найти площадь прямоугольника \(S_{BMKD}\).

Квадрат \(ABCD\) имеет равные и перпендикулярные диагонали \(AC\) и \(BD\), которые делятся точкой пересечения пополам. Площадь квадрата выражается через сторону: \(S_{ABCD} = AB^2 = 10\ \text{см}^2\), откуда \(AB = \sqrt{10}\ \text{см}\).

В прямоугольном треугольнике \(ABD\) по теореме Пифагора находим диагональ: \(BD^2 = AB^2 + AD^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 20\), значит \(BD = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\ \text{см}\).

Точка \(L\) — середина диагонали \(AC\), поэтому \(CL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \sqrt{5}\ \text{см}\).

Прямоугольник \(BMCL\) по условию имеет \(BM \parallel CL\) и \(BM = CL = \sqrt{5}\ \text{см}\).

Площадь прямоугольника \(BMKD\) вычисляется как произведение сторон \(BM\) и \(BD\): \(S_{BMKD} = BM \cdot BD = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 10\ \text{см}^2\).

Ответ: \(10\ \text{см}^2\).