ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 685 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если точка \(E\) — середина отрезка \(АК\) (рис. 213), то треугольник \(AKD\) и прямоугольник \(ABCD\) равновелики.

Решение:
1) В прямоугольнике ABCD: \(\angle B = \angle C = 90^\circ\), BC \(\perp\) AD;
2) Проведем высоту KH: H \(\in\) EF, KH \(\perp\) BC;
3) В треугольниках ABE и KHE: \(\angle ABE = \angle KHE = 90^\circ\), \(\angle AEB = \angle KEH\) — вертикальные, \(\triangle ABE \cong \triangle KHE\), \(S_{ABE} = S_{KHE}\);
4) В треугольнике AKD: AE = KE, EF \(\perp\) AD, KF = DF;
5) В треугольниках DCF и KHF: \(\angle DCF = \angle KHF = 90^\circ\), \(\angle DFC = \angle KFH\) — вертикальные, \(\triangle DCF \cong \triangle KHF\), \(S_{DCF} = S_{KHF}\);
6) \(S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{AEFD} + S_{DCF} = S_{KHE} + S_{AEFD} + S_{KHF} = S_{AKD}\).

Дано: четырехугольник ABCD является прямоугольником, AE = KE.

Доказать: площадь четырехугольника ABCD равна площади треугольника AKD, то есть \(S_{ABCD} = S_{AKD}\).

Решение:
1) Так как ABCD — прямоугольник, то \(\angle B = \angle C = 90^\circ\) и прямые BC и AD параллельны.
2) Проведем высоту KH, перпендикулярную стороне BC. Точка H лежит на стороне EF, а отрезок KH перпендикулярен BC.
3) Рассмотрим треугольники ABE и KHE. Так как \(\angle ABE = \angle KHE = 90^\circ\) и \(\angle AEB = \angle KEH\) (вертикальные углы), то \(\triangle ABE \cong \triangle KHE\) по признаку прямоугольных треугольников. Следовательно, \(S_{ABE} = S_{KHE}\).
4) Рассмотрим треугольник AKD. Так как AE = KE, то EF \(\perp\) AD, и KF = DF.
5) Рассмотрим треугольники DCF и KHF. Так как \(\angle DCF = \angle KHF = 90^\circ\) и \(\angle DFC = \angle KFH\) (вертикальные углы), то \(\triangle DCF \cong \triangle KHF\) по признаку прямоугольных треугольников. Следовательно, \(S_{DCF} = S_{KHF}\).
6) Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABE, AEFD и DCF: \(S_{ABCD} = S_{ABE} + S_{AEFD} + S_{DCF}\). Площадь треугольника AKD равна сумме площадей треугольников KHE, AEFD и KHF: \(S_{AKD} = S_{KHE} + S_{AEFD} + S_{KHF}\). Так как \(S_{ABE} = S_{KHE}\) и \(S_{DCF} = S_{KHF}\), то \(S_{ABCD} = S_{AKD}\).

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна площади треугольника AKD, что и требовалось доказать.