ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 686 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Краткий ответ:

Решение:
1) В квадрате ABCD: \(\angle A = \angle B = 90^\circ, S_{ABCD} = AB^2\), AD \(\parallel\) BC, AB \(\perp\) CD;
2) В прямоугольнике ABEG: \(EG = AB, R = \frac{1}{2}AB\);
3) Диаметры окружности: HF, EG;
4) В квадрате HEFG: \(HE = EF, HE \perp EF\);
5) В прямоугольном ΔHEF: \(HF^2 = HE^2 + EF^2, AB^2 = HE^2 + HE^2, 2HE^2 = AB^2, HE^2 = \frac{1}{2}AB^2\);
6) В квадрате HEFG: \(S_{HEFG} = HE^2 = \frac{1}{2}AB^2, S_{ABCD} = AB^2, \frac{S_{ABCD}}{S_{HEFG}} = 2\).

Ответ: в 2 раза.

Подробный ответ:

Дано: Квадраты ABCD и EFGH, центр окружности O.

Решение:
1) В квадрате ABCD: \(\angle A = \angle B = 90^\circ\), площадь квадрата ABCD равна \(S_{ABCD} = AB^2\). Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то AD \(\parallel\) BC и AB \(\perp\) CD.
2) В прямоугольнике ABEG: диагональ EG равна стороне AB, то есть \(EG = AB\). Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника ABEG, равен \(R = \frac{1}{2}AB\).
3) Рассмотрим окружность, описанную вокруг квадрата EFGH. Диаметры этой окружности — отрезки HF и EG.
4) В квадрате HEFG: диагонали HE и EF равны и перпендикулярны.
5) В прямоугольном треугольнике ΔHEF: \(HF^2 = HE^2 + EF^2\), \(AB^2 = HE^2 + HE^2\), \(2HE^2 = AB^2\), следовательно, \(HE^2 = \frac{1}{2}AB^2\).
6) В квадрате HEFG: площадь \(S_{HEFG} = HE^2 = \frac{1}{2}AB^2\). Площадь квадрата ABCD равна \(S_{ABCD} = AB^2\). Отношение площадей \(\frac{S_{ABCD}}{S_{HEFG}} = \frac{AB^2}{\frac{1}{2}AB^2} = 2\).

Ответ: Площадь квадрата ABCD в 2 раза больше площади квадрата HEFG.

Оцени решение