ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 689 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь прямоугольного листа бумаги, длины сторон которого выражены целыми числами сантиметров, равна \(18 \text{ см}^2\). Сколько квадратов со стороной \(3 \text{ см}\) можно вырезать из этого листа?

Решение:

1) В прямоугольнике ABCD: AB = CD, BC = AD; P_ABCD = AB + BC + CD + AD; AB + AD + AB + AD = 108; 2AB + 2AD = 108; AB + AD = 54, AB = 54 — AD
2) В треугольнике BAD: АЕ — биссектриса; BE / DE = AB / BE = 2 / 7; AB = \( \frac{2}{7} \) AD, AD = 54 — AD; AD = 54, AD = 42; AB = 54 — 42 = 12
3) В прямоугольнике ABCD: S_ABCD = AB * AD; S_ABCD = 12 * 42 = 504
Ответ: 504 кв.см.

Решение:
Дано: четырехугольник ABCD является прямоугольником, длина отрезка АЕ является биссектрисой угла BAD, отношение длин отрезков BE и DE равно 2:7, площадь четырехугольника ABCD равна 108 см².

Для нахождения площади четырехугольника ABCD, будем использовать следующие шаги:

1) Найдем длины сторон прямоугольника ABCD. Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Обозначим AB = x и BC = y.

2) Используя условие, что периметр прямоугольника ABCD равен 108 см, получим уравнение: 2x + 2y = 108. Отсюда y = 54 — x.

3) Используя условие, что отношение длин отрезков BE и DE равно 2:7, получим: BE/DE = 2/7 = AB/AE. Отсюда AE = \( \frac{7}{2} \) AB = \( \frac{7}{2} \) x.

4) Так как AE является биссектрисой угла BAD, то AD = 2AE = 7x.

5) Площадь прямоугольника ABCD вычисляется по формуле: S_ABCD = AB * AD = x * 7x = \( 7x^2 \).

6) Подставляя x = 54 — y, получим: S_ABCD = \( 7(54 — y)^2 \).

7) Минимизируя S_ABCD по y, получим y = 42 и x = 12.

8) Таким образом, длины сторон прямоугольника ABCD равны: AB = 12 см, BC = 42 см.

9) Площадь четырехугольника ABCD вычисляется по формуле: S_ABCD = AB * AD = 12 * 42 = 504 см².

Ответ: 504 см².