ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 69 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма

1) Для прямых AD и BC и секущей BE: \(\angle CBE = \angle AEB = 90^\circ\);
2) В прямоугольном \(\triangle ACB\): \(\angle BCF + \angle CBF = 90^\circ\), \(\angle CBF = 90^\circ — \angle C\);
3) В параллелограмме ABCD: \(\angle CBE = \angle EBF + \angle CBF\), \(\angle EBF + 90^\circ — 2\angle C = 90^\circ\), \(\angle EBF = \angle C\).

Дано: четырехугольник ABCD является параллелограммом, BE и BF — высоты параллелограмма. Требуется доказать, что \(\angle EBF = \angle C\).

1) Рассмотрим прямые AD и BC, которые пересекаются секущей BE. Так как ABCD — параллелограмм, то углы, образованные пересечением параллельных прямых AD и BC секущей BE, равны. Следовательно, \(\angle CBE = \angle AEB = 90^\circ\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB. В прямоугольном треугольнике сумма углов равна \(90^\circ\). Поэтому \(\angle BCF + \angle CBF = 90^\circ\). Из этого следует, что \(\angle CBF = 90^\circ — \angle C\).

3) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны. Следовательно, \(\angle CBE = \angle EBF + \angle CBF\). Подставляя значение \(\angle CBF\), получаем: \(\angle EBF + 90^\circ — \angle C = 90^\circ\). Таким образом, \(\angle EBF = \angle C\).

Вывод: Доказано, что \(\angle EBF = \angle C\).