ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 690 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в от- ношении \(1 : 4\). Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна \(36 \text{ см}^2\).

Решение:
1) В прямоугольнике ABCD: AB = CD, BC = AD; S_ABCD = AB ⋅ AD = 36; AB = 36/AD
2) В треугольнике BAD: АЕ — биссектриса; BE/DE = AB/AD = 1/4, AB = 1/4 ⋅ AD, ∠BAD = 1/4 ⋅ 360° = 90°, AD^2 = 144, AD = 12; AB = 36/12 = 3
3) В прямоугольнике ABCD: P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 3 + 12 + 3 + 12 = 30
Ответ: 30 см

Дано: прямоугольник ABCD, биссектриса АЕ угла BAD, BE : DE = 1 : 4, площадь прямоугольника S_ABCD = 36 см^2.

Решение:
1) Найдем длины сторон прямоугольника ABCD. Так как ABCD — прямоугольник, то AB = CD и BC = AD. Площадь прямоугольника вычисляется как S_ABCD = AB ⋅ AD. Из условия S_ABCD = 36 см^2, получаем: \(AB ⋅ AD = 36\).

2) Найдем соотношение сторон треугольника BAD. Так как АЕ является биссектрисой угла BAD, то \(BE/DE = AB/AD\). Из условия BE : DE = 1 : 4 следует, что \(BE/DE = 1/4\), значит \(AB/AD = 1/4\). Отсюда \(AB = 1/4 ⋅ AD\).

3) Найдем длину стороны AD. Используя формулу площади прямоугольника \(S_ABCD = AB ⋅ AD\) и \(AB = 1/4 ⋅ AD\), получаем: \(36 = (1/4 ⋅ AD) ⋅ AD\), откуда \(AD^2 = 144\) и \(AD = 12\).

4) Найдем длину стороны AB. Из \(AB = 1/4 ⋅ AD\) следует, что \(AB = 1/4 ⋅ 12 = 3\).

5) Найдем периметр прямоугольника ABCD. Периметр прямоугольника вычисляется как \(P_ABCD = AB + BC + CD + AD\). Подставляя найденные значения, получаем: \(P_ABCD = 3 + 12 + 3 + 12 = 30\).

Ответ: 30 см.