ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 695 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до его стороны, если острый угол ромба равен \(30°\), а сторона — \(8 \text{ см}\).

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABDC: OE ⊥ AB, OF ⊥ CD; AB ∥ CD, O ∈ EF; BO = CO.
2) В прямоугольном ΔBGD: ∠BDG = 30°; \(BG = \frac{1}{2}BD = 4\).
3) В прямоугольнике EBGF: EF = BG = 4.
4) Рассмотрим ΔCOF и ΔBOE: BO = CO, ∠BEO = ∠CFO = 90°; ∠BOE = ∠COF — вертикальные; ΔCOF = ΔBOE — гипотенуза и угол; \(OE = OF = \frac{1}{2}EF = 2\).
Ответ: 2 см.

Дано: четырехугольник ABDC является ромбом, отрезок ОЕ перпендикулярен стороне АВ, отрезок OF перпендикулярен стороне CD, отрезок BG перпендикулярен стороне CD, угол ∠D равен 30°, длина отрезка BD равна 8 см.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABDC. Так как ABDC является ромбом, то противоположные стороны AB и CD, а также AC и BD равны. Также, так как ОЕ ⊥ AB и OF ⊥ CD, то ОЕ и OF являются медианами ромба ABDC.
2) Так как BG ⊥ CD, то ΔBGD является прямоугольным. Следовательно, ∠BDG = 30°.
3) Используя свойство прямоугольного треугольника, можно найти длину отрезка BG: \(BG = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) см.
4) Так как EF = BG = 4 см, то ΔEBGF является прямоугольным.
5) Рассмотрим ΔCOF и ΔBOE. Так как BO = CO, а ∠BEO = ∠CFO = 90°, то ΔCOF и ΔBOE являются равными по второму признаку равенства треугольников. Следовательно, ∠BOE = ∠COF (вертикальные углы), а ΔCOF и ΔBOE являются равными по второму признаку равенства треугольников.
6) Так как ΔCOF и ΔBOE равны, то OF = OE. Используя свойство равных треугольников, можно найти длину отрезка OE: \(OE = OF = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) см.

Ответ: OE = 2 см.