ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 70 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

1) Для прямых AD и ВС и секущей АЕ: \(\angle DAE + 2\angle CEA = 180^\circ\), \(\angle DAE + 90^\circ = 180^\circ\), \(\angle DAE = 90^\circ\)

2) В прямоугольном ΔADF: \(\angle ADF = 180^\circ — \angle ADC\), \(\angle ADF + \angle DAF = 90^\circ\), \(180^\circ — 2\angle D + 2\angle DAF = 90^\circ\), \(\angle DAF = \angle D — 90^\circ\)

3) В параллелограмме ABCD: \(\angle EAF = \angle EAD + 2\angle DAF\), \(\angle EAF = 90^\circ + 2\angle D — 90^\circ = \angle D\)

Что и требовалось доказать.

Дано:
— Четырехугольник ABCD является параллелограммом.
— Точки A, E и F лежат на одной прямой, то есть AE и AF — высоты параллелограмма.
Требуется доказать: \(\angle EAF = \angle D\).

Решение:
1) Рассмотрим прямые AD и BC, которые пересекаются секущей AE.
Согласно свойству секущих, сумма противоположных углов при пересечении прямых равна \(180^\circ\):
\(\angle DAE + \angle CEA = 180^\circ\)

2) Так как точка E лежит на прямой AD, то угол DAE является вертикальным с углом BAE. Следовательно:
\(\angle DAE + 90^\circ = 180^\circ\)
\(\angle DAE = 90^\circ\)

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADF.
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна \(90^\circ\):
\(\angle ADF + \angle DAF = 90^\circ\)

4) Угол ADF является внешним для треугольника ADC, поэтому:
\(\angle ADF = 180^\circ — \angle ADC\)

5) Подставляя выражение для \(\angle ADF\) в пункт 3, получаем:
\(180^\circ — \angle ADC + \angle DAF = 90^\circ\)
\(\angle DAF = 90^\circ — (\angle 180^\circ — \angle ADC)\)
\(\angle DAF = \angle D — 90^\circ\)

6) Рассмотрим параллелограмм ABCD.
В параллелограмме противоположные углы равны:
\(\angle EAF = \angle EAD + \angle DAF\)

7) Подставляя выражение для \(\angle DAF\) из пункта 5, получаем:
\(\angle EAF = \angle EAD + \angle D — 90^\circ\)

8) Так как точки A, E и F лежат на одной прямой, то \(\angle EAD = 90^\circ\).
Следовательно:
\(\angle EAF = 90^\circ + \angle D — 90^\circ\)
\(\angle EAF = \angle D\)

Таким образом, мы доказали, что \(\angle EAF = \angle D\).