ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 71 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен \(30^\circ\). Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны \(4\) см и \(6\) см.

Краткий ответ:

1) В параллелограмме ABCD: \(\angle C = \angle EBF = 30°\); \(\angle A = \angle C = 30°\); \(AB = CD\), \(BC = AD\);
2) В прямоугольном \(\triangle ACB\): \(\angle BCF = 30°\); \(BC = 2BF = 12\);
3) В прямоугольном \(\triangle ABE\): \(\angle BAE = 30°\); \(AB = 2BE = 8\);
4) Периметр ABCD: \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 8 + 12 + 8 + 12 = 40\);
Ответ: 40 см.

Подробный ответ:

Дано:
— Параллелограмм ABCD
— Высота ВЕ = 4 см
— Высота BF = 6 см
— Угол \(\angle EBF = 30°\)

Решение:
1) Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \(AB = CD\) и \(BC = AD\).
2) Так как \(\angle EBF = 30°\), то \(\angle C = \angle EBF = 30°\) (углы при основании параллелограмма равны).
3) Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то \(\angle A = \angle C = 30°\).
4) В прямоугольном треугольнике \(\triangle ACB\):
— \(\angle BCF = 30°\) (дополнительный угол к \(\angle C\))
— \(BC = 2BF = 2 \cdot 6 = 12\) (высота BF = 6 см)
5) В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABE\):
— \(\angle BAE = 30°\) (дополнительный угол к \(\angle A\))
— \(AB = 2BE = 2 \cdot 4 = 8\) (высота BE = 4 см)
6) Периметр параллелограмма ABCD:
— \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD\)
— \(P_{ABCD} = 8 + 12 + 8 + 12 = 40\)

Ответ: 40 см.

Оцени решение