ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 711 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь ромба, если его высота равна \(6 \text{ см}\), а большая диагональ — \(10 \text{ см}\).

Решение:

1) В прямоугольном ΔАНС: \(\sin\angle\mathrm{ACH} = \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
2) Рассмотрим ромб ABCD: \(\mathrm{OC} = \frac{1}{2}\mathrm{AC} = 5\), \(\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}\)
3) В прямоугольном ΔВОС: \(\cos\angle\mathrm{C} = \sqrt{1 — \sin^2\angle\mathrm{C}} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\)
\(\mathrm{BC} = \mathrm{OC} \cdot \cos\angle\mathrm{C} = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4\)
\(\mathrm{BC} = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4\)
4) Площадь ромба ABCD: \(\mathrm{S}_{\mathrm{ABCD}} = \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AH} = 4 \cdot 6 = 24\)
Ответ: 24 см².

Решение:
Дано: ромб ABCD, высота AH = 6 см, длина стороны AC = 10 см.
Требуется найти площадь ромба SABCD.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АНС. Согласно теореме синусов, имеем:
\(\sin\angle\mathrm{ACH} = \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

2) Так как ABCD — ромб, то диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом. Следовательно, \(\mathrm{OC} = \frac{1}{2}\mathrm{AC} = 5\) см.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОС. Согласно теореме косинусов, имеем:
\(\cos\angle\mathrm{C} = \sqrt{1 — \sin^2\angle\mathrm{C}} = \sqrt{1 — \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\)
Тогда \(\mathrm{BC} = \mathrm{OC} \cdot \cos\angle\mathrm{C} = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4\) см.

4) Площадь ромба ABCD вычисляется по формуле:
\(\mathrm{S}_{\mathrm{ABCD}} = \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AH} = 4 \cdot 6 = 24\) см².

Ответ: 24 см².