ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 712 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Меньшая диагональ ромба равна \(a\), а один из углов — \(60^\circ\). Найдите площадь ромба.

Ответ: \(a^2\sqrt{3}/2\)

Решение:
1) В прямоугольном треугольнике ∆AOB:
\(\sin\angle A = \frac{1}{2}, \quad \frac{BO}{AB} = \frac{a}{2}\)
2) В прямоугольном треугольнике ∆AOC:
\(\sin\angle C = \frac{1}{2}, \quad AC = \sqrt{3}a\)
3) Площадь ромба ABCD:
\(S_{ABCD} = a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)

Решение:

Дано: ромб ABCD, АН — высота, BD = a, ∠A = 60°.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ, где АО = BD = a.
Согласно определению синуса угла, \(\sin\angle A = \frac{BO}{AB}\). Так как ∠A = 60°, то \(\sin\angle A = \frac{1}{2}\), следовательно, \(\frac{BO}{AB} = \frac{1}{2}\) и \(AB = 2BO\).

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник АОС, где АО = BD = a и ∠C = 60°.
Согласно определению синуса угла, \(\sin\angle C = \frac{AH}{AC}\). Так как ∠C = 60°, то \(\sin\angle C = \frac{1}{2}\), следовательно, \(\frac{AH}{AC} = \frac{1}{2}\) и \(AC = 2AH\).

3) Используя полученные соотношения, можно найти длину стороны ромба:
\(AC = 2AH = 2\cdot\frac{a}{2} = a\)
\(BC = AB = 2BO = 2\cdot\frac{a}{2} = a\)

4) Площадь ромба ABCD вычисляется по формуле:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2\)
где \(d_1 = AC\) и \(d_2 = AH\).
Подставляя значения, получаем:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

Ответ: \(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)