ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 716 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами \(a\) и \(b\) наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Решение:

1) В прямоугольном ΔEFN: EF — гипотенуза; FN < EF, FN < a; 2) В прямоугольнике ABCD: S_ABCD = AB ⋅ AD = ab; 3) В параллелограмме EFGH: S_EFGH = EH ⋅ FN < ab; S_EFGH < S_ABCD. Что и требовалось доказать.

Дано: прямоугольник ABCD и параллелограмм EFGH, где AB = EH = a, AD = FE = b. Требуется доказать, что площадь прямоугольника ABCD больше площади параллелограмма EFGH.

Решение:
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔEFN. Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, \(EF^2 = EN^2 + NF^2\).
2) Так как EFGH — параллелограмм, то EF = GH и EN = FN. Поэтому \(EF^2 = EN^2 + NF^2\).
3) Площадь параллелограмма EFGH равна произведению длин его сторон: \(S_{EFGH} = EH \cdot FN\).
4) Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон: \(S_{ABCD} = AB \cdot AD\).
5) Так как AB = EH = a и AD = FE = b, то \(S_{ABCD} = a \cdot b\).
6) Так как EN = FN, то \(EF^2 = 2 \cdot EN^2\). Следовательно, \(EF = \sqrt{2} \cdot EN\).
7) Из свойств параллелограмма следует, что FN < EF. Поэтому \(FN < \sqrt{2} \cdot EN\). 8) Таким образом, \(S_{EFGH} = EH \cdot FN < EH \cdot \sqrt{2} \cdot EN = \sqrt{2} \cdot a \cdot b = \sqrt{2} \cdot S_{ABCD}\). 9) Следовательно, \(S_{ABCD} > S_{EFGH}\).
10) Что и требовалось доказать.