ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 717 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике ABC известно, что \(\angle C = 90^\circ\), \(AC = 7\) см, \(BC = 24\) см, \(AM\) — биссектриса. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс углов \(BAC\) и \(AMC\).

Решение:

1) В прямоугольном ΔАВС:
AB² = AC² + BC²;
AB² = 7² + 24²;
AB² = 49 + 576;
AB² = 625, AB = 25;
sin ΔВАС = BC/AB = 24/25;
cos ΔВАС = AC/AB = 7/25;
tg ΔВАС = BC/AC = 24/7.
2) В прямоугольном ΔАМС:
MC/AC = BM/AB = 7/25;
BC = MC + BM = 24;
BM = 24 — 7/25 = 21/4;
MC = 7/25;
AM² = AC² + MC²;
AM² = 49 + (21/4)².

Дано: Треугольник ABC с прямым углом в точке C, где AM — биссектриса, AC = 7 см, BC = 24 см.

Решение:
1) Найдем длину стороны AB, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
AB² = AC² + BC²
AB² = \(7^2 + 24^2\)
AB² = \(49 + 576\)
AB² = 625
AB = \(\sqrt{625}\)
AB = 25 см

2) Найдем синус, косинус и тангенс угла BAC:
sin ΔBAC = BC/AB = \(24/25\)
cos ΔBAC = AC/AB = \(7/25\)
tg ΔBAC = BC/AC = \(24/7\)

3) Найдем отношение MC/AC и BM/AB в прямоугольном треугольнике AMC:
MC/AC = BM/AB = \(7/25\)

4) Найдем длину отрезка BM:
BC = MC + BM
24 = \(7/25\) + BM
BM = 24 — \(7/25\)
BM = \((24*25 — 7)/25\)
BM = \(21/4\)

5) Найдем длину отрезка MC:
MC = \(7/25\)

6) Найдем длину отрезка AM, используя теорему Пифагора:
AM² = AC² + MC²
AM² = \(7^2 + (21/4)^2\)
AM² = \(49 + (441/16)\)
AM² = \((49*16 + 441)/16\)
AM² = \((784 + 441)/16\)
AM² = \(1225/16\)
AM = \(\sqrt{1225/16}\)
AM = \(35/4\)

Таким образом, получаем следующие значения:
sin ΔBAC = \(24/25\)
cos ΔBAC = \(7/25\)
tg ΔBAC = \(24/7\)
sin ΔAMC = \(4/5\)
cos ΔAMC = \(3/5\)
tg ΔAMC = \(4/3\)
ctg ΔAMC = \(3/4\)