ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 73 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

1) Треугольник ΔАВС равнобедренный: \(∠BAC = ∠BCA\), \(AB = BC\);
2) Для прямых ЕМ и ВС и секущей АС \(∠EMA = 2∠BCA = 2∠BAC\);
3) В треугольнике АЕМ: \(∠EAM = ∠EMA\), \(ΔAEM\) равнобедренный, \(EM = AE\);
4) В параллелограмме EBFM: \(FM = EB\), \(BF = EM = AE\); \(P_{EBFM} = EB + BF + FM + EM = EB + AE + EB + AE = AB +\)
\(+ AB = AB + AC\).

Дано: Треугольник ΔАВС является равнобедренным, прямые ЕМ и ВС пересекаются секущей АС, требуется доказать, что \(P_{EBFM} = AB + AC\).

Решение:
1) Так как треугольник ΔАВС является равнобедренным, то \(∠BAC = ∠BCA\) и \(AB = BC\).
2) Рассмотрим прямые ЕМ и ВС, пересекающиеся секущей АС. Согласно свойству секущих, \(∠EMA = 2∠BAC\).
3) Рассмотрим треугольник ΔАЕМ. Так как \(∠EAM = ∠EMA\), то ΔАЕМ является равнобедренным треугольником, и, следовательно, \(EM = AE\).
4) Рассмотрим параллелограмм EBFM. Так как \(FM = EB\) и \(BF = EM = AE\), то \(P_{EBFM} = EB + BF + FM + EM = EB + AE + EB + AE = AB + \)
\(+AB = AB + AC\).

Таким образом, мы доказали, что \(P_{EBFM} = AB + AC\).