ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 731 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки длиной \(3 \text{ см}\) и \(27 \text{ см}\).

Краткий ответ:

1. Дано: \( CH \) — высота; \( \angle C = 90^\circ \); \( AH = 3 \) см; \( BH = 27 \) см;
2. Найти: \( S_{ABC} \);
3. Решение: В прямоугольном \( \triangle ABC \): \( AB = AH + BH = 30 \); \( CH \) — высота; \( CH^2 = AH \cdot BH \);
4. \( CH^2 = 3 \cdot 27 \);
5. \( CH^2 = 81 \), \( CH = 9 \);
6. \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB \);
7. \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 30 = 135 \);
8. Ответ: \( 135 \) см\(^2\).

Подробный ответ:

Дано: \( CH \) — высота, проведённая к гипотенузе \( AB \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)). Известно, что \( AH = 3 \) см, \( BH = 27 \) см. Требуется найти площадь треугольника \( ABC \) (\( S_{ABC} \)).

Решение начинается с нахождения длины гипотенузы \( AB \). Поскольку точка \( H \) лежит на гипотенузе, её длина равна сумме отрезков \( AH \) и \( BH \): \( AB = AH + BH = 3 + 27 = 30 \) см.

Далее используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике, проведённой к гипотенузе: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Формула записывается как \( CH^2 = AH \cdot BH \). Подставляем известные значения: \( CH^2 = 3 \cdot 27 = 81 \). Извлекаем квадратный корень: \( CH = \sqrt{81} = 9 \) см.

Теперь вычисляем площадь треугольника \( ABC \). Для прямоугольного треугольника площадь можно найти как половину произведения катетов, но здесь удобнее использовать формулу через гипотенузу и высоту: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB \). Подставляем значения: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 30 = 135 \) см\(^2\).

Проверка на отсутствие ошибок: все шаги последовательны, формулы применены корректно, арифметические вычисления верны. Например, контрольное соотношение \( \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} \) (свойство подобных треугольников) выполняется: \( \frac{3}{9} = \frac{9}{27} \) или \( \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \).

Ответ: площадь треугольника \( ABC \) равна \( 135 \) см\(^2\).

Дополнительное пояснение: если бы требовалось найти катеты \( AC \) и \( BC \), можно было бы использовать теорему Пифагора для треугольников \( AHC \) и \( BHC \). Например, \( AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \) см. Однако в данной задаче это не требуется.

Оцени решение