ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 732 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна \(8 \text{ см}\), а проекция одного из катетов на гипотенузу — \(6 \text{ см}\). Найдите площадь треугольника.

Решение:
В прямоугольном ΔАВС: CH — высота; \(CH^2 = AH \cdot BH\); \(8^2 = 6 \cdot BH, BH = 3\); \(AB = AH + BH = 50/3\); \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{50}{3} = \frac{200}{3}\) кв. см.

Ответ: \(\frac{200}{3}\) кв. см.

Дано:
\(CH\) — высота;
\(\angle C = 90^\circ\);
\(CH = 8 \, \text{см}\);
\(AH = 6 \, \text{см}\).

Найти:
\(S_{\triangle ABC}\).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\):
\(CH\) — это высота, проведённая к гипотенузе \(AB\). Она делит гипотенузу на два отрезка: \(AH\) и \(BH\).

2. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике:
\(
CH^2 = AH \cdot BH.
\)
Подставляем значения:
\(
8^2 = 6 \cdot BH.
\)
Решаем уравнение:
\(
64 = 6 \cdot BH, \quad BH = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \, \text{см}.
\)

3. Найдём длину гипотенузы \(AB\):
\(
AB = AH + BH.
\)
Подставляем значения:
\(
AB = 6 + \frac{32}{3} = \frac{18}{3} + \frac{32}{3} = \frac{50}{3} \, \text{см}.
\)

4. Вычислим площадь треугольника \(\triangle ABC\):
Формула площади:
\(
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB.
\)
Подставляем значения:
\(
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{50}{3}.
\)
Считаем:
\(
S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{400}{3} = \frac{200}{3} \, \text{см}^2.
\)

Ответ:
\(
\frac{200}{3} \, \text{см}^2.
\)