ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 733 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Высота \(BD\) треугольника \(ABC\) делит его сторону \(AC\) на отрезки \(AD\) и \(CD\). Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BC = 87 \text{ см}\), \(\angle ZA = 30^\circ\), \(CD = 5 \text{ см}\).

Краткий ответ:

Найдем длину отрезка \( BD \) в прямоугольном треугольнике \( \Delta BDC \):
\( BC^2 = BD^2 + CD^2 \)
\( (\sqrt{37})^2 = BD^2 + 5^2 \)
\( 37 = BD^2 + 25 \)
\( BD^2 = 12 \)
\( BD = 2\sqrt{3} \)

Теперь найдем длину отрезка \( AD \) в прямоугольном треугольнике \( \Delta ABD \):
\( \tan \angle A = \frac{BD}{AD} \)
\( \tan 30° = \frac{2\sqrt{3}}{AD} \)
\( AD = \frac{2\sqrt{3}}{\tan 30°} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \)

Теперь найдем площадь треугольника \( ABC \):
\( AC = AD + CD = 6 + 5 = 11 \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 11 = 11\sqrt{3} \)

Ответ: Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 11\sqrt{3} \) см².

Подробный ответ:

Дано:
— BD — высота треугольника
— BC = \(\sqrt{37}\) см
— ∠A = 30°
— CD = 5 см

Решение:

1. Найдем длину отрезка BD в прямоугольном треугольнике ΔBDC:
\(BC^2 = BD^2 + CD^2\)
\((\sqrt{37})^2 = BD^2 + 5^2\)
\(37 = BD^2 + 25\)
\(BD^2 = 12\)
\(BD = 2\sqrt{3}\)

2. Найдем длину отрезка AD в прямоугольном треугольнике ΔABD:
\(\tan\angle A = \frac{BD}{AD}\)
\(\tan 30° = \frac{2\sqrt{3}}{AD}\)
\(AD = \frac{2\sqrt{3}}{\tan 30°} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\)

3. Найдем площадь треугольника ABC:
\(AC = AD + CD = 6 + 5 = 11\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}BD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 11 = 11\sqrt{3}\)

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 11\(\sqrt{3}\) см².

Оцени решение