ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 735 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна \(b\), а угол при основании равен \(c\).

Решение:

1) В прямоугольном ΔАВН: sin ∠ZA = sin α, sin ∠ZA = BH/AB, BH = AB ⋅ sin ∠ZA = b sin α; cos ∠ZA = cos α, cos ∠ZA = AH/AB, AH = AB ⋅ cos ∠ZA = b cos α;
2) ΔАВС равнобедренный: BH — высота и медиана; AC = 2AH = 2b cos α;
S_ABC = 1/2 ⋅ BH ⋅ AC = 1/2 ⋅ b ⋅ 2b cos α = b^2 sin α cos α.
Ответ: b^2 sin α cos α.

Дано: в прямоугольном треугольнике ABC, AB = b, ∠A = α. Требуется найти площадь треугольника.

Решение:
1) Для прямоугольного треугольника ABC, согласно теореме синусов, имеем: sin ∠A = BH/AB, где BH — высота треугольника. Следовательно, BH = AB ⋅ sin ∠A = b ⋅ sin α.

2) Также, согласно теореме косинусов, имеем: cos ∠A = AH/AB, где AH — медиана треугольника. Следовательно, AH = AB ⋅ cos ∠A = b ⋅ cos α.

3) Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота BH является также медианой. Таким образом, AC = 2AH = 2b ⋅ cos α.

4) Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле: S_ABC = 1/2 ⋅ BH ⋅ AC = 1/2 ⋅ b ⋅ sin α ⋅ 2b ⋅ cos α = b^2 ⋅ sin α ⋅ cos α.

Ответ: S_ABC = b^2 ⋅ sin α ⋅ cos α.