ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 740 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной \(8 \text{ см}\) и \(12 \text{ см}\). Найдите площадь треугольника.

Решение:

1) Рассмотрим окружность: \(CF = CE\), \(AF = AH = 8\), \(BE = BH = 12\)
2) В прямоугольном \(\triangle ABC\): \(AB = AH + BH = 20\), \(AC = AF + CF = CF + 8\)
3) \(BC = CE + BE = CF + 12\)
4) \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
5) \(20^2 = (CF + 8)^2 + (CF + 12)^2\)
6) \(2CF^2 + 40CF + 208 = 400\)
7) \(2CF^2 + 40CF — 192 = 0\)
8) \(CF^2 + 20CF — 96 = 0\)
9) \(D = 20^2 + 4 \cdot 96 = 784\)
10) \(CF = \frac{-20 + 28}{2} = 4\)
11) \(AC = 4 + 8 = 12\)
12) \(BC = 4 + 12 = 16\)
13) \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC = 96\)
Ответ: 96 см^2.

Дано: \(\triangle ABC\) — описанный, \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AH = 8\) см, \(BH = 12\) см.

Решение:
Рассмотрим окружность, описанную вокруг \(\triangle ABC\). Так как \(\angle ACB = 90^\circ\), то \(CF = CE\) и \(AF = AH = 8\) см, \(BE = BH = 12\) см.

В прямоугольном \(\triangle ABC\) имеем:
\(AB = AH + BH = 20\) см
\(AC = AF + CF = CF + 8\)

Найдем длину \(BC\):
\(BC = CE + BE = CF + 12\)

Используя теорему Пифагора для \(\triangle ABC\):
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(20^2 = (CF + 8)^2 + (CF + 12)^2\)

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем:
\(2CF^2 + 40CF + 208 = 400\)
\(2CF^2 + 40CF — 192 = 0\)
\(CF^2 + 20CF — 96 = 0\)

Решая это квадратное уравнение, находим:
\(CF = \frac{-20 + 28}{2} = 4\) см

Тогда:
\(AC = AF + CF = 8 + 4 = 12\) см
\(BC = CF + BE = 4 + 12 = 16\) см

Площадь \(\triangle ABC\) вычисляется по формуле:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\) см^2

Ответ: 96 см^2.