ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 741 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен \(54 \text{ см}\), а высота, проведенная к основанию, — \(9 \text{ см}\).

Краткий ответ:

Решение:
1) Треугольник ABC равнобедренный, поэтому BH — высота и медиана. AC = 2AH, AB = BC. Периметр треугольника PABC = AB + BC + AC.
2) AB + AB + 2AH = 54, AB + AH = 27, AH = 27 — AB.
3) В прямоугольном треугольнике ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2, AB^2 = (27 — AB)^2 + 9^2, AB^2 = 729 — 54AB + AB^2 + 81, 54AB = 810, AB = 15, AH = 27 — 15 = 12.
4) В треугольнике ABC: AC = 2·12 = 24, S_ABC = 1/2·BH·AC = 1/2·9·24 = 108 см^2.

Ответ: 108 см^2.

Подробный ответ:

Дано: равнобедренный треугольник ABC, где ΔABC — равнобедренный, BH — высота и медиана, PABC = 54 см, BH = 9 см. Найти площадь треугольника SABC.

Решение:
1) Так как ΔABC — равнобедренный, то AC = 2AH и AB = BC.
2) Периметр треугольника PABC = AB + BC + AC = AB + AB + 2AH = 54 см.
3) Следовательно, AB + AH = 27 см, и AH = 27 — AB.
4) В прямоугольном треугольнике ABH, AB^2 = AH^2 + BH^2. Подставляя значения, получаем: AB^2 = (27 — AB)^2 + 9^2, AB^2 = 729 — 54AB + AB^2 + 81, 54AB = 810, AB = 15 см.
5) Тогда AH = 27 — 15 = 12 см.
6) Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле: S_ABC = 1/2 * BH * AC = 1/2 * 9 * 24 = 108 см^2.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна \(108\) см^2.

Оцени решение