ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 743 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения

Решение:
1) В треугольнике BAD: \(S_{BAD} = \frac{1}{2} BD \cdot AO\)
2) В треугольнике BCD: \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot CO\)
3) В четырехугольнике ABCD: \(S_{ABCD} = S_{BAD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot (AO + CO)\)

Дано: AC ⊥ BD.

Доказательство:
1) Рассмотрим треугольник BAD. Площадь треугольника BAD вычисляется по формуле: \(S_{BAD} = \frac{1}{2} BD \cdot AO\).
2) Рассмотрим треугольник BCD. Площадь треугольника BCD вычисляется по формуле: \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot CO\).
3) Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников BAD и BCD: \(S_{ABCD} = S_{BAD} + S_{BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot (AO + CO)\).
4) Так как AC ⊥ BD, то \(AO + CO = AC\). Подставляя это в предыдущее выражение, получаем: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD \cdot AC\).
5) Таким образом, доказано, что \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD\).