ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 745 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь ромба, сторона которого равна \(25 \text{ см}\), а сумма диагоналей — \(62 \text{ см}\).

Краткий ответ:

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2·AO, BD = 2·BO; 2AO + 2BO = 62; AO + BO = 31; AO = 31 — BO;
2) В прямоугольном ΔABO: AB^2 = AO^2 + BO^2; 25^2 = (31 — BO)^2 + BO^2; 625 = 961 — 62BO + 2BO^2; BO^2 — 31BO + 168 = 0; D = 31^2 — 4·168 = 289; BO = (31 — √289)/2 = 7; AO = 31 — 7 = 24;
3) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2·24 = 48, BD = 2·7 = 14; S_ABCD = 1/2·AC·BD = 1/2·48·14 = 336.
Ответ: 336 см^2.

Подробный ответ:

Дано: ромб ABCD, где AB = 25 см, AC + BD = 62 см. Необходимо найти площадь ромба SABCD.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD. Из условия задачи известно, что AC = 2·AO и BD = 2·BO. Тогда AC + BD = 2·AO + 2·BO = 62 см, откуда AO + BO = 31 см.

2) Найдем длину стороны BO. Для этого воспользуемся тем, что в прямоугольном треугольнике АВО:
\(AB^2 = AO^2 + BO^2\)
Подставляя известные значения, получаем:
\(25^2 = (31 — BO)^2 + BO^2\)
\(625 = 961 — 62BO + 2BO^2\)
\(BO^2 — 31BO + 168 = 0\)
Решая это квадратное уравнение, находим:
\(BO = \frac{31 \pm \sqrt{31^2 — 4 \cdot 168}}{2} = \frac{31 \pm \sqrt{289}}{2} = 7\)

3) Теперь можно найти длину стороны AO:
\(AO = 31 — BO = 31 — 7 = 24\)

4) Площадь ромба ABCD вычисляется по формуле:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\)
Подставляя найденные значения, получаем:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 7 = 336\) кв. см.

Ответ: 336 кв. см.

Оцени решение