ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 746 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите площадь ромба, сторона которого равна \(39 \text{ см}\), а разность диагоналей — 42 см

Краткий ответ:

Решение:

1) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2A0, BD = 2BO; 2A0 — 2BO = 42; A0 — BO = 21; A0 = 21 + BO;
2) В прямоугольном ΔABO: AB^2 = A0^2 + BO^2; 39^2 = (21 + BO)^2 + BO^2; 1521 = 441 + 42BO + 2BO^2; BO^2 + 21BO — 540 = 0; D = 21^2 + 4 · 540 = 2601; BO = (-21 + √(21^2 + 4 · 540)) / 2 = 15; A0 = 21 + 15 = 36;
3) Рассмотрим ромб ABCD: AC = 2 · 36 = 72, BD = 2 · 15 = 30; S_ABCD = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 72 · 30 = 1080.
Ответ: 1080 см^2.

Подробный ответ:

Дано: ромб ABCD, AB = 39 см, AC — BD = 42 см. Требуется найти площадь ромба SABCD.

Решение:
1) Рассмотрим ромб ABCD. Так как ABCD — ромб, то противоположные стороны равны: AC = 2A0 и BD = 2B0.
2) Используя условие AC — BD = 42 см, получаем: 2A0 — 2B0 = 42, откуда A0 — B0 = 21.
3) Так как ABCD — ромб, то A0 = B0 + 21.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Применяя теорему Пифагора, имеем: \(AB^2 = A0^2 + B0^2\). Подставляя значения, получаем: \(39^2 = (21 + B0)^2 + B0^2\), откуда \(1521 = 441 + 42B0 + 2B0^2\).
5) Решая квадратное уравнение \(2B0^2 + 42B0 — 1080 = 0\), находим: \(B0 = \frac{-42 \pm \sqrt{42^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1080)}}{2 \cdot 2} = 15\).
6) Тогда A0 = B0 + 21 = 36.
7) Площадь ромба ABCD вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\).
8) Подставляя значения, получаем: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 30 = 1080\) см^2.

Ответ: 1080 см^2.

Оцени решение