ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 747 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны прямая \(l\) и параллельный ей отрезок \(AB\). Докажите, что все треугольники \(AXB\), где \(X\) — произвольная точка прямой \(l\), равновелики.

Решение:
1) В прямоугольнике XHH’X’: \(\angle XHH’ = \angle HH’X’ = 90^\circ\); XH \(\perp\) AB, XX’ \(\parallel\) AB; XX’ \(\perp\) XH, \(\angle HXX’ = 90^\circ\); X’H’ = XH;
2) В треугольнике ABX: \(S_{ABX} = \frac{1}{2}AB \cdot XH\);
3) В треугольнике ABX’: \(S_{ABX’} = \frac{1}{2}AB \cdot X’H’ = S_{ABX}\).

Рассмотрим данный чертеж. Известно, что отрезок XH является высотой треугольника ABX, а отрезок X’H’ является высотой треугольника ABX’. Также известно, что прямые AB и XX’ параллельны.

Для доказательства того, что площади треугольников ABX и ABX’ равны, выполним следующие шаги:

1) Рассмотрим прямоугольник XHH’X’. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то \(\angle XHH’ = \angle HH’X’ = 90^\circ\). Это значит, что прямые XH и XX’ перпендикулярны.

2) Так как прямые AB и XX’ параллельны, то \(\angle XHH’ = \angle XXH\). Следовательно, треугольники XHH’ и XXH подобны, и \(XH = X’H’\).

3) Площадь треугольника ABX вычисляется по формуле \(S_{ABX} = \frac{1}{2}AB \cdot XH\).

4) Площадь треугольника ABX’ вычисляется по формуле \(S_{ABX’} = \frac{1}{2}AB \cdot X’H’\).

5) Так как \(XH = X’H’\), то \(S_{ABX} = S_{ABX’}\).

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников ABX и ABX’ равны.