ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 750 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM/MC = n/m\). Докажите, что \(S_{ARM} = n/(n+m) \cdot S_{ABC}\).

Решение:
1) В треугольнике АВС:
\(AC = AM + MC\)
\(AC = \frac{m}{n} \cdot AC\)
\(MC = \frac{n}{m+n} \cdot AC\)
2) В треугольнике АВМ:
\(S_{ABM} = \frac{1}{2} AM \cdot BH\)
\(S_{ABM} = \frac{m \cdot AC \cdot BH}{2(m+n)}\)
3) В треугольнике СВМ:
\(S_{CBM} = \frac{1}{2} CM \cdot BH\)
\(S_{CBM} = \frac{n \cdot AC \cdot BH}{2(m+n)}\)
\(S_{ABM} : S_{CBM} = m : n\)

Дано: в треугольнике ABC высота BH, отношение сторон AM/MC = m/n.

Решение:
1) Рассмотрим треугольник ABC. Согласно теореме Фалеса, отношение сторон треугольника пропорционально, поэтому:
\(AC = AM + MC\)
\(AC = \frac{m}{m+n} \cdot AC + \frac{n}{m+n} \cdot AC\)
\(AC = \frac{m+n}{m+n} \cdot AC\)
\(AC = AC\)

2) Таким образом, получаем:
\(MC = \frac{n}{m+n} \cdot AC\)
\(AM = \frac{m}{m+n} \cdot AC\)

3) Рассмотрим треугольник ABM. Площадь этого треугольника равна:
\(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH\)
\(S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{m+n} \cdot AC \cdot BH\)

4) Рассмотрим треугольник CBM. Площадь этого треугольника равна:
\(S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH\)
\(S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{m+n} \cdot AC \cdot BH\)

5) Отношение площадей треугольников ABM и CBM равно:
\(\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{m}{m+n} \cdot AC \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot \frac{n}{m+n} \cdot AC \cdot BH} = \frac{m}{n}\)

Таким образом, доказано, что \(S_{ABM} : S_{CBM} = m : n\).