ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 751 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

В треугольнике провели все три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Краткий ответ:

Решение:
1) В треугольнике АОС: \(S_{AOF} = S_{COF}\)
2) В треугольнике АОВ: \(S_{AON} = S_{BON}\)
3) В треугольнике ВОС: \(S_{BOE} = S_{COE}\)
4) В треугольнике АВС:
\(S_{ABF} = \frac{1}{2}S_{ABC}\), \(S_{BEA} = \frac{1}{2}S_{ABC}\), \(S_{ANC} = \frac{1}{2}S_{ABC}\)
\(S_{ABC} = S_{ABF} + S_{BNC} — S_{BON} + S_{COF}\)
\(S_{ABC} = S_{ABC} — S_{BON} + S_{COF}\)
\(S_{BON} = S_{COF} = S_{AON} = S_{AOF}\)
\(S_{ABC} = S_{BEA} + S_{CBF} — S_{BOE} + S_{AOF}\)
\(S_{ABC} = S_{ABC} — S_{BOE} + S_{AOF}\)
\(S_{BOE} = S_{AOF} = S_{COE} = S_{COF}\)

Подробный ответ:

Дано: в треугольнике ABC заданы медианы AE, BF и CN.

Доказать: \(S_{AOF} = S_{COF}\), \(S_{AON} = S_{BON}\), \(S_{BOE} = S_{COE}\).

Решение:

1) Рассмотрим треугольник AOC. Медиана AE делит сторону OC пополам, следовательно, \(S_{AOF} = S_{COF}\).

2) Рассмотрим треугольник AOB. Медиана BF делит сторону OB пополам, следовательно, \(S_{AON} = S_{BON}\).

3) Рассмотрим треугольник BOC. Медиана CN делит сторону OC пополам, следовательно, \(S_{BOE} = S_{COE}\).

4) Рассмотрим треугольник ABC:
— \(S_{ABF} = \frac{1}{2}S_{ABC}\), так как ABF — половина треугольника ABC;
— \(S_{BEA} = \frac{1}{2}S_{ABC}\), так как BEA — половина треугольника ABC;
— \(S_{ANC} = \frac{1}{2}S_{ABC}\), так как ANC — половина треугольника ABC.

5) Площадь треугольника ABC можно представить как сумму площадей:
\(S_{ABC} = S_{ABF} + S_{BNC} — S_{BON} + S_{COF}\)

6) Упростим выражение:
\(S_{ABC} = S_{ABC} — S_{BON} + S_{COF}\)

7) Учитывая, что \(S_{AON} = S_{BON}\) и \(S_{AOF} = S_{COF}\), получаем:
\(S_{BON} = S_{COF} = S_{AON} = S_{AOF}\)

8) Продолжим упрощение:
\(S_{ABC} = S_{BEA} + S_{CBF} — S_{BOE} + S_{AOF}\)

9) Снова упростим:
\(S_{ABC} = S_{ABC} — S_{BOE} + S_{AOF}\)

10) Учитывая, что \(S_{BOE} = S_{COE}\) и \(S_{AOF} = S_{COF}\), получаем:
\(S_{BOE} = S_{AOF} = S_{COE} = S_{COF}\)

Таким образом, доказано, что \(S_{AOF} = S_{COF}\), \(S_{AON} = S_{BON}\) и \(S_{BOE} = S_{COE}\).

Оцени решение