ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 756 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Решение:

В треугольнике ABC:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CN\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AE\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BF\)
Из равенства площадей следует:
\(AB \cdot CN = BC \cdot AE = AC \cdot BF\)
Тогда:
\(\frac{AE}{CN} = \frac{AB}{BC} < 1\) Следовательно, \(BF < AE < CN\).

Дано: в треугольнике ABC высоты AE, BF и CN. Известно, что AC > BC > AB.

Доказать: BF < AE < CN. Решение: Площадь треугольника ABC можно вычислить тремя способами: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CN\) \(S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AE\) \(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BF\) Приравняв эти выражения, получим: \(AB \cdot CN = BC \cdot AE = AC \cdot BF\) Разделив первое и второе равенства, имеем: \(\frac{AE}{CN} = \frac{AB}{BC}\) Поскольку AC > BC > AB, то \(\frac{AB}{BC} < 1\). Следовательно, \(\frac{AE}{CN} < 1\), то есть AE < CN. Аналогично, разделив первое и третье равенства, получим: \(\frac{BF}{AE} = \frac{BC}{AC}\) Так как BC < AC, то \(\frac{BC}{AC} < 1\). Следовательно, \(\frac{BF}{AE} < 1\), то есть BF < AE. Таким образом, доказано, что BF < AE < CN.