ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 757 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(M\) так, что \(AM/MC = n/m\). Пусть \(X\) — произвольная внутренняя точка отрезка \(BM\). Докажите, что \(S_{ARX} = n/(n+m) \cdot S_{CBX}\).

Решение:

1) В треугольнике АВС: \(S_{ABM} = \frac{m}{n}S_{CBM}\)
2) В треугольнике АХС: \(S_{AXM} = \frac{m}{n}S_{CXM}\)
3) В треугольнике СВХ: \(S_{CBX} = S_{CBM} — S_{CXM}\)
4) В треугольнике АВХ: \(S_{ABX} = S_{ABM} — S_{AXM}\), \(S_{ABX} = \frac{m}{n}(S_{CBM} — S_{CXM})\), \(S_{ABX} = \frac{m}{n}S_{CBX}\)

Дано: треугольник ABC с вершинами A, B, C. Проведены высоты AE, BF, CN.

Доказательство:
1) Площадь треугольника ABC можно вычислить тремя способами:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CN\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AE\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BF\)

2) Из равенства площадей следует:
\(AB \cdot CN = BC \cdot AE = AC \cdot BF\)

3) Разделив первое равенство на второе, получаем:
\(\frac{AE}{CN} = \frac{AB}{BC}\)

4) Поскольку \(\frac{AB}{BC} < 1\), то \(\frac{AE}{CN} < 1\). 5) Следовательно, \(BF < AE < CN\). Таким образом, доказано, что в треугольнике ABC высота, проведенная из вершины B, меньше высоты, проведенной из вершины A, которая, в свою очередь, меньше высоты, проведенной из вершины C.