ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 758 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки, один из которых на \(14 \text{ см}\) больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен \(4 \text{ см}\)

Краткий ответ:

Решение:
1) Найдем длины сторон прямоугольного треугольника ABC: AB = 2AH + 14, BC = AH + 18, AC = AH + 4.
2) Найдем площадь треугольника ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (AH + 4) \cdot (AH + 18) = 120\) см².

Ответ: 120 см².

Подробный ответ:

Решение:
Дано: ΔABC — описанный, BH = AH + 14 см, ∠ACB = 90°, R = 4 см. Найти площадь ΔABC.

1) Рассмотрим окружность, описанную вокруг ΔABC:
— Радиус окружности R = 4 см
— Точки O, E, F лежат на окружности
— OE = OF = 4 см, OF ⊥ AC, OE ⊥ BC
— BE = BH = AH + 14 см, AF = AH см

2) Найдем стороны прямоугольного ΔCFO:
— CF = OE = 4 см
— CE = OF = 4 см

3) Найдем стороны прямоугольного ΔABC:
— AB = AH + BH = 2AH + 14 см
— BC = BE + CE = AH + 18 см
— AC = AF + CF = AH + 4 см

4) Найдем площадь ΔABC:
— \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
— \((2AH + 14)^2 = (AH + 4)^2 + (AH + 18)^2\)
— \(4AH^2 + 56AH + 196 = 2AH^2 + 44AH + 340\)
— \(2AH^2 + 12AH — 144 = 0\)
— \(AH^2 + 6AH — 72 = 0\)
— \(AH = \frac{-6 + \sqrt{6^2 + 4 \cdot 72}}{2} = 6\)
— AC = 6 + 4 = 10 см, BC = 6 + 18 = 24 см
— \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120\) см²

Ответ: 120 см².

Оцени решение