ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 759 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) к гипотенузе \(AB\) проведена высота \(CM\). Площадь треугольника \(ACM\) равна \(6 \text{ см}^2\), а площадь треугольника \(BCM\) — \(54 \text{ см}^2\). Найдите стороны треугольника \(ABC\).

Решение:

1) В прямоугольном ΔАСМ: S₀₃₄ = \(\frac{1}{2}\)AM·MC = 6
2) В прямоугольном ΔВСМ: S₀₅₄ = \(\frac{1}{2}\)BM·MC = 54, BM = \(\frac{108}{6}\) = 18
3) В прямоугольном ΔАВС: MC² = AM·BM, MC² = \(\frac{12}{6}\)·\(\frac{108}{6}\) = 1296, MC = 6, AM = \(\frac{12}{6}\) = 2, AB = AM + BM = 2 + 18 = 20
4) В прямоугольном ΔАСМ: AC² = AM² + MC² = 2² + 6² = 40, AC = \(\sqrt{40}\) = 2\(\sqrt{10}\)
5) В прямоугольном ΔАВС: BC² = BM² + MC² = 18² + 6² = 360, AC = \(\sqrt{360}\) = 6\(\sqrt{10}\)
Ответ: 2\(\sqrt{10}\) см; 6\(\sqrt{10}\) см; 20 см.

Решение задачи:

1) Найдем площадь прямоугольного треугольника ∆ACM:
\(S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2\)

2) Найдем площадь прямоугольного треугольника ∆BCM:
\(S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot 6 = 324 \text{ см}^2\)

3) Найдем длину стороны AB:
\(AB = AM + BM = 12 + 108 = 120 \text{ см}\)

4) Найдем длину стороны AC в прямоугольном треугольнике ∆ACM:
\(AC^2 = AM^2 + MC^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180\)
\(AC = \sqrt{180} = 2\sqrt{10} \text{ см}\)

5) Найдем длину стороны BC в прямоугольном треугольнике ∆BCM:
\(BC^2 = BM^2 + MC^2 = 108^2 + 6^2 = 11664 + 36 = 11700\)
\(BC = \sqrt{11700} = 6\sqrt{10} \text{ см}\)

Ответ:
\(AB = 20 \text{ см}\)
\(BC = 6\sqrt{10} \text{ см}\)
\(AC = 2\sqrt{10} \text{ см}\)