ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 760 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной \(21 \text{ см}\) и \(35 \text{ см}\).

Решение:
В прямоугольном ΔABC: CD/AC = BD/AB = AB/AC, откуда AB = (5/3)AC. Тогда BC = BD + CD = 56, AB^2 = AC^2 + BC^2, и (5AC/3)^2 = AC^2 + 56^2, откуда AC = 42. Наконец, площадь ΔABC равна (1/2)·AC·BC = (1/2)·42·56 = 1176 см^2.

Ответ: 1176 см^2.

Дано: треугольник ABC с прямым углом в точке C, где AD — биссектриса угла A, CD = 21 см, BD = 35 см. Требуется найти площадь треугольника ABC.

Решение:
1) Используя свойство прямоугольного треугольника, можно записать: CD/AC = BD/AB. Отсюда следует, что AB = (5/3)AC.
2) Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC, получаем: AB^2 = AC^2 + BC^2, где BC = BD + CD = 56 см.
3) Подставляя AB = (5/3)AC в уравнение Пифагора, получаем: \((5AC/3)^2 = AC^2 + 56^2\), откуда AC = 42 см.
4) Зная длины сторон треугольника ABC, можно найти его площадь по формуле: \(S_{ABC} = (1/2) \cdot AC \cdot BC\).
5) Подставляя значения AC = 42 см и BC = 56 см, получаем: \(S_{ABC} = (1/2) \cdot 42 \cdot 56 = 1176\) см^2.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 1176 см^2.