ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 762 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную к основанию, на отрезки, длины которых равны \(34 \text{ см}\) и \(16 \text{ см}\). Найдите площадь данного треугольника.

Краткий ответ:

Решение:

BH = BO + OH = 50;
BC^2 = BH^2 + CH^2;
\(\left(\frac{17}{8} CH\right)^2 = 50^2 + CH^2\);
\(\frac{289}{64} CH^2 = 50^2 + CH^2\);
\(\frac{225}{64} CH^2 = 50^2\);
\(\frac{15}{8} CH = 50, CH = \frac{80}{3}\);
\(\Delta ABC\) равнобедренный:
ВН — высота и медиана;
\(AC = 2CH = \frac{160}{3}\);
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} BH \cdot AC\);
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{160}{3} = \frac{4000}{3}\).
Ответ: \(\frac{4000}{3}\) см^2.

Подробный ответ:

Решение:
Дано: ΔАВС — равнобедренный треугольник, О — центр вписанной окружности, ВН — высота треугольника, ОВ = 34 см, ОН = 16 см.
Найти: площадь треугольника ΔАВС.

1) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ΔАВС:
— Центр окружности — точка О.
— Биссектрисы ВО и СО являются радиусами окружности.

2) В прямоугольном треугольнике ΔВНС:
\(BC = \frac{ВС}{СН} \cdot СН = \frac{34}{16} \cdot CH = \frac{17}{8} \cdot CH\)
\(BC^2 = \left(\frac{17}{8} \cdot CH\right)^2\)

3) Используя теорему Пифагора:
\(BC^2 = BH^2 + CH^2\)
\(\left(\frac{17}{8} \cdot CH\right)^2 = BH^2 + CH^2\)
\(\frac{289}{64} \cdot CH^2 = BH^2 + CH^2\)
\(\frac{289}{64} \cdot CH^2 — CH^2 = BH^2\)
\(\frac{225}{64} \cdot CH^2 = BH^2\)
\(BH = \sqrt{\frac{225}{64} \cdot CH^2} = \frac{15}{8} \cdot CH\)

4) Так как ВН является высотой и медианой равнобедренного треугольника ΔАВС, то:
\(BH = OH = \frac{15}{8} \cdot CH = 50\)
\(CH = \frac{80}{3}\)

5) Площадь треугольника ΔАВС:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AC\)
\(AC = 2 \cdot CH = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3}\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{160}{3} = \frac{4000}{3}\)

Ответ: \(\frac{4000}{3}\) см^2.

Оцени решение