ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 763 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении \(9 : 8\), считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен \(16 \text{ см}\).

Решение:

Площадь треугольника ABC равна: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{3} \cdot 50 = \frac{4000}{3} \text{ см}^2\)
Ответ: 4000/3 см².

Решение задачи:

1) Рассмотрим окружность: радиус окружности \(R = 16\) см, центр окружности в точке \(O\). Точка \(E\) является центром окружности, а точка \(B\) — точкой пересечения биссектрисы \(BO\) с окружностью.

2) В прямоугольном треугольнике \(\Delta ABH\): \(AB = AE + BE = 17x\), \(AB^2 = BH^2 + AH^2\), \((17x)^2 = BH^2 + (8x)^2\), \(289x^2 = BH^2 + 64x^2\), \(BH^2 = 225x^2\), \(BH = 15x\).

3) В равнобедренном треугольнике \(\Delta ABC\): \(BH\) является высотой и биссектрисой, \(O\) лежит на прямой \(BH\), \(\frac{BE}{AH} = \frac{16}{15x} = \frac{8}{7.5}\), \(8x = \frac{80}{3}, x = \frac{10}{3}\), \(BH = 15 \cdot \frac{10}{3} = 50\), \(AH = 8 \cdot \frac{10}{3} = \frac{80}{3}\).

4) Рассмотрим \(\Delta ABH\) и \(\Delta OBE\): \(\angle ABH = \angle OBE = 20^\circ\), \(\angle AHB = \angle OEB\), \(\Delta ABH \cong \Delta OBE\) (первый признак равенства треугольников).

5) В равнобедренном треугольнике \(\Delta ABC\): \(BH\) является высотой и медианой, \(AC = 2AH = \frac{160}{3}\), \(S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{3} \cdot 50 = \frac{4000}{3}\) кв. см.

Ответ: 4000/3 см².