ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 764 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На продолжениях сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\) равностороннего треугольника \(ABC\) за точки \(B\), \(C\) и \(A\) соответственно отметили точки \(D\), \(E\) и \(F\) так, что \(BD = CE = AF = 2AB\). Найдите площадь треугольника \(DEF\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(1 \text{ см}^2\).

Краткий ответ:

Решение:
1) ΔABC — равносторонний: AB = BC = AC;
2) В треугольнике FBC: FA = 2AC; \(S_{FBA} = \frac{FA}{AC} \cdot S_{ABC} = 2\);
3) Аналогично находим: \(S_{DCB} = S_{ECA} = 2\);
4) В треугольнике FAD: BD = 2AB; \(S_{FAB} = \frac{AB}{BD} \cdot S_{FBD} = \frac{1}{2} \cdot S_{FBD}\), \(S_{FBD} = 2S_{FAB} = 4\);
5) Аналогично находим: \(S_{DCE} = S_{FAE} = 4\);
6) В треугольнике FDE: \(S_{FDE} = S_{ABC} + S_{FBA} + S_{DCB} + S_{ECA} + S_{FBD} + S_{DCE} + S_{FAE} = \)
\(=1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 = 19\);
Ответ: 19 см².

Подробный ответ:

Хорошо, вот подробное пошаговое решение:

Дано: ΔABC — равносторонний, BD = CE = AF = 2AB, SABC = 1 см².

Для нахождения площади SDEF:

1) Рассмотрим ΔABC. Так как он равносторонний, то AB = BC = AC.

2) В ΔFBC, согласно условию, FA = 2AC. Тогда площадь ΔFBA равна:
\(S_{FBA} = \frac{1}{2} \cdot FA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 2AC \cdot AB = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \text{ см}^2\)

3) Аналогично находим площади других треугольников, прилегающих к ΔABC:
\(S_{DCB} = S_{ECA} = 2 \text{ см}^2\)

4) Рассмотрим ΔFAD. Согласно условию, BD = 2AB. Тогда площадь ΔFAB равна:
\(S_{FAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 2AB = AB^2 = \frac{1}{2} \cdot S_{FBD}\)
Отсюда \(S_{FBD} = 2 \cdot S_{FAB} = 4 \text{ см}^2\)

5) Аналогично находим площади других треугольников, прилегающих к ΔFAD:
\(S_{DCE} = S_{FAE} = 4 \text{ см}^2\)

6) Теперь найдем площадь ΔFDE:
\(S_{FDE} = S_{ABC} + S_{FBA} + S_{DCB} + S_{ECA} + S_{FBD} + S_{DCE} + S_{FAE} =\)
\(= 1 + 2 + 2 + 2 + 4 + 4 + 4 = 19 \text{ см}^2\)

Ответ: SDEF = 19 см².

Оцени решение